高等量子力学---课件-【ch03】二次量子化方法.pptxVIP

高等量子力学二次量子化方法第三章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助

01全同粒子量子态

01玻色子(波函数对称)因为全同玻色子体系的波函数必须是交换对称的，因此，全同玻色子体系的波函数应是下面的形式：式中，表示单粒子态(假设已归一化),n,为分别处于这些态上的粒子数，P表示对N个处于不同单粒子态上的粒子进行对换所构成的置换，表示对所有可能的排列求和。02费米子(波函数反对称)全同费米子体系的波函数必须是交换反对称的，因此，全同费米子体系的波函数应是下面的形式全同粒子量子态

此式称为斯莱特(Slater)行列式。由式(3.2)可以看出，若两个单粒子态相同，如i=j,则行列式的第一行与第二行相同，行列式等于零，即。这表明这样的体系状态不存在。这正是泡利不相容原理所要求的。由上面看到，采用坐标来描述全同粒子的量子态是相当烦琐的，利用它来进行各种计算很不方便，所以坐标表象不是一个令人满意的表象。其根源在于：对于全同粒子进行编号是没有意义的，但在波函数的上述表示方式中，又不得不先对粒子进行编号，以写出坐标表象中的某一项波函数，如,然后再把对粒子进行各种交换所构成的各项波函数叠加起来，以满足交换对称性的要求。事实上，只需要把处于每个单粒子态上的粒子数(n1,n?,…,nN)交代清楚，全同粒子系的量子态就完全确定了，并不需要(也没有意义)去指出处于某单粒子态上的粒子是“哪一个”。因此，为避免对全同粒子进行编号，需要摆脱坐标表象，而粒子数表象是一个非常好的选择。为了在粒子数表象中进行各种计算，需要引进粒子产生算符和湮灭算符。利用它们，就可以把粒子数表象的基矢及各种类型的力学量方便地表示出来，而且在各种计算中，只需利用这些产生算符和湮灭算符的基本对易关系，量子态的置换对称性即可自动得到保证。为了初学者方便，在引进产生算符和湮灭算符之前，简单回顾一下一维谐振子的代数解法中的升算符和降算符概念。全同粒子量子态

02粒子数表象

01谐振子状态的粒子数表象描述一维经典谐振子系统的哈密顿量为其中，μ为粒子的质量。在量子力学中正则坐标和正则动量应满足如下不对易关系：为求解定态薛定谔方程，可以引入两个非厄密算符：由式(3.4)容易得到，b和b所满足的基本对易关系为+式(3.5)的逆变换关系为粒子数表象

引入两个非厄密算符后，谐振子系统的哈密顿算符可表示为能量本征值为对应的能量本征态为其中，为谐振子基态。算符b和b的所有性质可通过如下它们对谐振子能量表象基矢的作用而显示出来：+由此，b称为湮灭算符，称为产生算符。原则上一维谐振子问题都可以在这个所谓的粒子数表象中解决。谐振子系统是物理学中的一个非常典型的系统。上述结果表明，任何谐振子系统的基本状态的能量都是量子化的，每份能量子的值均为。这个能量子常被称作“声子”(phonon),并将n=1的态称为单声子激发态；n=2的态称为两声子激发态；基态为不存在声子的状态，称作真空态。应当注意，真空态的能量并不为零。谐振子能量本征态也就是声子数确定的状态，声子数算符可定义为粒子数表象

应当注意，这里的n是算符。上面的讨论并未涉及状态随时间的演化问题，或者说我们仅仅讨论了初始时刻的状态描述。由于在粒子数表象中我们将状态记为产生算符作用在真空态的形式(见式(3.9)),所以方便的是使真空态不随时间改变，而使力学量随时间改变，因此常采用海森伯绘景。在海森伯绘景中，一维自由谐振子湮灭算符b(t)所满足的动力学方程为一般来说，在二次量子化中，所有算符都可以用产生和湮灭算符表示，所以讨论算符随时间变化只需讨论湮灭算符即可，产生算符是它的伴算符。于是谐振子哈密顿算符用声子数算符可记为式(3.13)满足初始条件b(t=0)=b的解为02非耦合谐振子集合粒子数表象

N个非耦合谐振子系统的哈密顿算符可简单地写为单粒子哈密顿算符之和，有为了转化到粒子数表象，需引入N个声子湮灭算符及产生算符：它们之间满足如下对易关系：此时哈密顿算符表示为其中，为真空能量，或称零点能。式(3.18)的哈密顿算符所描写的量子系统也常称为包含N个独立振动模式的系统，每一种代表一种振动模式。振动模的声子数算符粒子数表象

这种振动模声子的能量为。系统的总声子数算符系统的能量(不包括真空能)为哈密顿算符的本征态为其中，真空态定义为最后指出，上面讨论中每种基本振动模声子