2022_2013年北京市中考十年真题分类试题汇编——新定义解析版.pdf

2022~2013北京中考十年真题分类汇编——新定义

参考答案与试题解析

1．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向

上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点

为Q，称点Q为点P的“对应点”．

（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P

的“对应点”．

①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；

（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若

P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写

出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

【分析】（1）①根据定义，先求出P的坐标，从而得出Q的位置；

②连接PP，利用三角形中位线定理得NT＝PP，从而证明结论；

（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1

∥OM，PP＝OM，PN＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，

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在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，从

而解决问题．

【解答】解：（1）①由题意知，P（﹣2+1，0+1），

∴P（﹣1，1），

如图，点Q即为所求；

第1页（共26页）

②连接PP，

∵∠PPO＝∠MOx＝45°，

∴PP∥ON，

∵PN＝QN，

∴PT＝QT，

∴NT＝PP，

∵PP＝OM，

∴NT＝OM；

（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，

由题意知，PP∥OM，PP＝OM，PN＝NQ，

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∴TQ＝2MN，

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∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，

∴TQ＝2﹣2t，

∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，

在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，

∴PS的最小值为PS﹣QS，PS的最大值为PS+QS，

∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．

【点评】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形中位线定理，

三角形三边关系，平移的性质等知识，解题的关键是理解定义，画出图形，利用三角形

中位线定理求出QT的长是解题的关键．

2．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如

下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的

对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．

（1）如图，点A，B，C，B，C，B，C的横、纵坐标都是整数．在线段BC，BC，

1122331122

BC中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是BC；

3322

（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点