7 例析利用割补法解题题型 高中常用数学方法的介绍 例析 体验 练习.pdfVIP

【学生版】

例析利用割补法解题题型

所谓割补法：就是将复杂的或不熟悉的几何图形转化为简单的熟悉的几何图形（如：三角形、正方形、长

方形、平行四边形或梯形等）或几何体（如：柱体、锥体和球体）；也就是把一个复杂长度、面积或体积的计算

分割成若干个简单图形的有关计算或将一个不易求出长度、面积或体积的几何图形补足为较易计算的几何图形；

例如，把曲边形割补成规则图形、把斜棱柱割补成直棱柱、把三棱柱补成平行六面体、把三棱锥补成三棱柱或平

行六面体、把多面体切割成锥体（特别是三棱锥）、把不规则的几何体割补成规则的几何体，从而把未知的转化

为已知的、把陌生的转化为熟悉的、把复杂的转化为简单的、把不够直观的转化为直观易懂的。

一、“分割”非规则图形为规则图形

几何图形或几何体的“分割”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，分割成若干个易求长度、面积

或体积的几何图形或几何体。

例1、为测出所住小区的面积，某人进行了一些测量工作，所得数据如图所示，则小区的面积是（）

3＋63－6

A．km2B．km2

44

6＋36－3

C．km2D．km2

44

【提示】

【解析】

【评注】

例2、如图是一个以ABC为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知AB＝BC＝2，

1111111

∠ABC＝90°，AA＝4，BB＝3，CC＝2，求：

111111

（1）该几何体的体积；

（2）截面ABC的面积。

【提示】

【解析】

【评注】

二、将非规则图形“补形”规则图形

几何图形或几何体的“补形”，即将已知的几何图形或几何体按照结论的要求，补全成若干个易求长度、面积

或体积的几何图形或几何体。

例3、已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________

例4、如图，在直三棱柱ABC-ABC中，∠BCA＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，

111

若BC＝CA＝CC，则BE与AF所成的角的余弦值为________．

111

三、几何体的“割补”

几何体的割补，即将已知的几何体按照结论的要求，既要分割又要补全成若干个易求体积的几何体。

例5、平面α过正方体ABCD-ABCD的顶点A，α∥平面CBD，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABBA＝n，

11111111

则m，n所成角的正弦值为()

3231

A．B．C．D．

2233

例6、如图，已知多面体ABCDEFG，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，

平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()

A．2B．4

C．6D．8