2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　习题课　等差数列与等比数列.docx

习题课等差数列与等比数列

[学习目标]1.熟练掌握等差数列、等比数列的概念及相关公式.2.会求含绝对值的等差数列的前n项和.3.掌握等差数列、等比数列的综合问题．

一、含绝对值的等差数列的前n项和

例1数列{an}的前n项和Sn＝100n－n2(n∈N＋)．

(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；

(2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.

延伸探究本例中若an＝2n－101，求数列{bn}的前n项和Tn.

反思感悟已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”．

跟踪训练1在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22.

(1)数列{an}前多少项和最大？

(2)求{|an|}的前n项和Sn.

二、等差数列、等比数列的综合问题

例2已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N＋，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

反思感悟解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列和等比数列之间的内在联系，寻求它们之间的相互转化，寻求它们的相互作用．

跟踪训练2已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

三、数列中函数与方程思想的应用

例3已知a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，其中n＝1,2,3，….

(1)求证数列{lg(1＋an)}是等比数列；

(2)设Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及数列{an}的通项公式；

(3)记bn＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn＋eq\f(2,3Tn－1)＝1.

反思感悟由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件．

跟踪训练3等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当b＝2时，记bn＝eq\f(n＋1,4an)(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.

1.知识清单：

(1)求含绝对值的等差数列的前n项和．

(2)等差数列、等比数列的综合问题．

(3)数列中函数与方程思想的应用．

2．方法归纳：函数与方程思想、分类讨论法．

3．常见误区：等差数列、等比数列的公式记混致误．

1．已知等比数列{an}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于()

A．33B．84C．72D．189

2．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，n∈N＋)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于()

A.eq\f(3n2,2)

B.eq\f(n?n＋1?,2)

C.eq\f(3n?n－1?,2)

D.eq\f(n?n－1?,2)

3．数列{(－1)n＋2}的前n项和为Sn，则S2023＝________.

4．已知等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝________.