2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　1.2　数列的函数特性.docx

1．2数列的函数特性

[学习目标]1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列．

一、数列与函数的关系

问题1已知函数f(x)＝x2－1，当x＝1,2,3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象．

知识梳理

数列与函数的关系

可以把一个数列视作定义在____________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为__________________，这个图象也称为数列的图象．

例1在数列{an}中，an＝n2－8n，n∈N＋，画出{an}的图象．

反思感悟数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．

跟踪训练1根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来．

(1)an＝(－1)n＋2；

(2)an＝eq\f(n＋1,n).

二、数列的增减性

问题2观察下面两个数列，你能说出每个数列中项的变化规律吗？

(1)1,2,3,4,5,6；

(2)－1，－2，－3，－4，－5，－6.

知识梳理

数列的增减性

名称

定义

判断方法

递增数列

从第2项起，每一项都________它的前一项

an＋1an

递减数列

从第2项起，每一项都________它的前一项

an＋1an

常数列

各项都________

an＋1＝an

角度1数列增减性的判断

例2已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n2＋5n＋4)，则该数列是()

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

延伸探究本例若把数列{an}的通项公式改为an＝eq\f(k,3n)(k0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性．

角度2利用数列的增减性求参数

例3已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()

A．(－∞，3] B．(－∞，4]

C．(－∞，5) D．(－∞，6)

反思感悟数列增减性的两个关注点

(1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N＋)的大小，另外还可以用函数单调性法．

(2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围．

跟踪训练2已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________．

三、数列的最大(小)项

例4已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．

反思感悟求数列{an}的最大项和最小项的方法

(1)数列或函数的单调性法．

(2)不等式法：求最小项可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1))来确定n，求最大项可由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1))来确定n，n≥2且n∈N＋.

跟踪训练3已知数列{an}的通项公式为an＝2n×0.9n，求数列{an}中的最大项．

1.知识清单：

(1)数列的表示方法．

(2)数列的增减性的判断及应用．

(3)求数列的最大(小)项．

2．方法归纳：图象法、转化与化归思想．

3．常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N＋(或其子集)的特殊函数而出错．

1．已知an＝3n－2，则数列{an}的图象是()

A．一条直线 B．一条抛物线

C．一个圆 D．一群孤立的点

2．在递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()

A．R B．(0，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，0]

3．已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(n＋2,n＋1)，则这个数列是()

A．递增数列 B．递减数列

C．常数列 D．摆动数列

4．数列{an}的通项公式为an＝n2－6n，则它的最小值是________．