安徽省蚌埠市五河第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试题[含答案].docx

安徽省蚌埠市五河第一中学2024?2025学年高二上学期期中考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（????）

A．或 B．或

C． D．

2．抛物线的准线与直线的距离为3，则此抛物线的方程为（????）

A． B．

C．或 D．或

3．设、，向量，，且，，则（??????）

A． B． C． D．

4．已知两点到直线的距离相等，则（????）

A．2 B． C．2或 D．2或

5．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（????）

A． B． C． D．

6．如图在底圆半径和高均为的圆锥中，、是过底圆圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（???????）．

A． B．1 C． D．

7．过圆内一点作直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（????）

A． B． C． D．

8．已知椭圆的左,右焦点分别为,，经过的直线交椭圆于，的内切圆的圆心为，若，则该椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（????）

A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则

B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则

C．直线的方向向量，平面的法向量是，则

D．直线的方向向量，平面的法向量是，则

10．已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，为上异于顶点的动点，则下列说法正确的有（????）

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．点到渐近线的距离为4

D．直线与直线的斜率乘积为

11．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（????）

A．点的横坐标的取值范围是

B．的取值范围是

C．面积的最大值为

D．的取值范围是

三、填空题（本大题共3小题）

12．以点为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为.

13．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．

14．已知椭圆的左?右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知平面内三点，，.

(1)若直线经过点且与线段有交点，求直线的倾斜角的取值范围；

(2)若直线经过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为2，求直线的方程.

16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点.

(1)求证：平面PBD；

(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

(3)求D到平面APM的距离.

17．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．

(1)求抛物线的标准方程．

(2)直线：与抛物线交于，两点，点，若（为坐标原点），直线是否恒过点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

18．在图甲所示的四边形中，，，，，沿将进行翻折，使得，得到如图乙所示的四棱锥.四棱锥的体积为，为边上的动点（不与端点，重合）.

(1)若为的中点，求证：；

(2)设，试问：是否存在实数，使得锐二面角的余弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

19．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线与的右支及渐近线的交点自上而下依次为，证明：；

(3)求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，所以；因为，所以；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，所以.若方程的正整数解为，则的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.

参考答案

1．【答案】B

【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.

【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；

当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.

故选B.

??

2．【答案】D

【详解】抛物线的准线方程为，则，或-16．

故所求抛物线方程为或．

故选：D

3．【答案】D

【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选D.

4．【答案】D

【分析】利用点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】因为两点到直线的距离相等，

所以有，或，

故选：D

5．【答案】A

【详解】因为线分别与轴，轴交于两点，

所以，所以，

由，可得圆的圆心为，半径为，

因为点在圆上，所以圆心到直线的距离为，

故到直线的距离的范围为，

则.

故选：A.

6．【答案】A

【分析】