直线和圆的方程知识及典型例题.docx

直线和圆的方程知识关系

直线的方程

一、直线的倾斜角和斜率

1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向和轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线和轴平行或重合时,其倾斜角为,故直线倾斜角的范围是.

2.直线的斜率:倾斜角不是的直线其倾斜角的正切叫这条直线的斜率,即.

注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.

②当时，直线垂直于轴，它的斜率k不存在.

③过两点、的直线斜率公式

二、直线方程的五种形式及适用条件

名称

方程

说明

适用条件

斜截式

k—斜率

b—纵截距

倾斜角为90°的直线不能用此式

点斜式

0(0)

(x0，y0)—直线上已知点，

k──斜率

倾斜角为90°的直线不能用此式

两点式

=

(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点

和两坐标轴平行的直线不能用此式

截距式

1

a—直线的横截距

b—直线的纵截距

过（0，0）及和两坐标轴平行的直线不能用此式

一般式

0

(A、B不全为零)

A、B不能同时为零

数学基础知识和典型例题

直线和圆的方程

直线的方程

注:⑴确定直线方程需要有两个互相独立的条件,通常用待定系数法;

⑵确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.

⑶直线是平面几何的基本图形，它和方程中的二元一次方程0（A22≠0）是一一对应的.

直线的方程

例1.过点和的直线的斜率等于1,则的值为()

(A)(B)(C)1或3(D)1或4

例2.若,则直线2＋3y＋1=0的倾斜角的取值范围（）

(A)(B)(C)(0,)(D)

例4.连接和两点的直线斜率为,和y轴的交点P的坐标为.

例5.以点为端点的线段的中垂线的方程是.

两直线的位置关系

一、两直线的位置关系

1.两直线平行:

⑴斜率存在且不重合的两条直线

l1∶11，l2∶22，则l1∥l2k12;

⑵两条不重合直线的倾斜角为,

则∥.

2.两直线垂直:

⑴斜率存在的两条直线l1∶112∶22,

则l1⊥l2k1·k2=-1;

⑵两直线l1∶A111=0，l2∶A222=0，

则l1⊥l2A1A21

3.“到角”和“夹角”:

⑴直线到的角（方向角）；

直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到和重合时所转动的角，它的范围是.

注:①当两直线的斜率k12都存在且k1·k2≠-1时,;②当直线的斜率不存在时,可结合图形判断.

例6.将直线

绕着它和轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是()

(A)(B)(C)(D)

例7.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)和点(－2，4)重合，若点（7，3）和点（m）重合，则的值为()

(A)4 (B)－4(C)10 (D)－10

例8.和直线

平行且过点的直线的方程是。

例9.已知二直线

和

，若，在y轴上的截距为-1，则，.

两直线的位置关系

⑵两条相交直线和的夹角：

两条相交直线和的夹角，是指由和相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是,当两直线的斜率k1，k2都存在且k1·k2≠-1时，

则有.

4.距离公式。

⑴已知一点P(x0，y0)及一条直线l：0，则点P到直线l的距离；

⑵两平行直线l11=0，l22=0之间的距离。

5.当直线位置不确定时，直线对应的方程中含有参数.

含参数方程中有两种特殊情形，它们的对应的直线是有规律的，

即旋转直线系和平行直线系.

⑴在点斜式方程0(0)中，

①当（x0，y0）确定，k变化时，该方程表示过定点（x0，y0）的旋转直线系，

②当k确定，(x0，y0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l：0，

则①方程0（m为参数）表示和l平行的直线系；

②方程0（n为参数）表示和l垂直的直线系。

⑶已知直线l1：A111=0，

直线l2：A222=0，

则方程A111+λ(A222)=0

表示过l1和l2交点的直线系（不含l2）

掌握含参数方程的几何意义是某种直线系，有时可以优化解题思路.

例10.经过两直线

11x－3y－9＝0和

12x＋y－19＝0的交点，且过点(32)的直线方程为.

例11.已知△中，A（2，-1），B（4，3），

C（3，-2），求：

⑴边上的高所在直线方程；⑵边中垂线方程；⑶∠A平分线所在直线方程.

例12.已知定点

P（6，4）和定直线l1：4x，过P点的直线l和l1交于第一象限Q点，和x轴正半轴交于点M，求使△面积最小的直线l方程.

简单的线性规划

线性规划

⑴当点P(x0，y0)在直线0上时，其坐标满足方程000；

⑵当P不在直线0上时，00≠0，即000或000。这就是二元一次不等式的几