北京市第三中学2024−2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷[含答案].docx

北京市第三中学2024?2025学年高二上学期期中学业测试数学试卷

一、单选题（本大题共10小题）

1．已知直线过点和点，则直线的斜率为（????）

A． B． C． D．

2．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）

A． B． C． D．

3．两条平行线与间的距离为（????）

A． B． C． D．1

4．以点为圆心，半径为2的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

5．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（????）．

A． B．

C． D．

6．若直线与直线平行，则（????）

A．或 B． C． D．或

7．已知向量，，，若，，共面，则x等于（???）

A． B．1 C．1或 D．1或0

8．若圆与圆外切，则（???????）

A． B． C． D．

9．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（???????）．

A．4 B．5 C．6 D．7

10．在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为（????）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共5小题）

11．空间向量，且，则，．

12．试给出一组使两条直线与互相垂直的实数a，b的值，它们分别是；．

13．已知椭圆的中心在原点，长轴的一个顶点坐标为，离心率为．则椭圆的标准方程是．

14．已知点，，点P在直线上，则最小值等于．

15．在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”，有下列命题，其中为真命题的是.（填序号）

①若，则；

②到原点的“折线距离”不大于的点构成的区域面积为；

③原点与直线上任意一点M之间的折线距离的最小值为；

④原点与圆上任意一点M之间的折线距离的最大值为.

三、解答题（本大题共6小题）

16．已知三角形的顶点为，，.

(1)求BC边上的中线所在直线方程；

(2)求BC边上的高线所在直线方程.

17．如图所示，已知是正方体，E，F分别是棱AB，的中点．

(1)求直线与所成角的余弦值；

(2)求与平面所成角的正弦值；

(3)求点到平面的距离．

18．已知圆上三点坐标分别为．

(1)求该圆的一般方程；

(2)求弦BC垂直平分线的方程；

(3)求的面积．

19．已知椭圆C：，

(1)求椭圆的离心率.

(2)已知点A是椭圆C的左顶点，过点A作斜率为1的直线m，求直线m与椭圆C的另一个交点B的坐标.

(3)已知点，P是椭圆C上的动点，求的最大值及相应点P的坐标.

20．如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且．

(1)求证：；

(2)求二面角的大小；

(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

21．已知圆．

(1)求过点且与圆心距离为2的直线方程；

(2)设直线与圆的两个交点分别为A，B，M为劣弧AB上一动点，求面积的最大值；

(3)判断直线与圆的位置关系．

参考答案

1．【答案】B

【详解】解：由两点的斜率公式得，直线的斜率，

故选：B.

2．【答案】C

【分析】

判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a，接利用椭圆的定义，转化求解即可．

【详解】

椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．

故选C．

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，属于基础题．

3．【答案】A

【解析】利用两直线间的距离公式，计算出两条平行直线间的距离.

【详解】直线，所以两条平行线间的距离为.

故选：A

4．【答案】C

【详解】对A选项化为标准方程为，半径为，故A错误，

对B选项化为标准方程为，半径为，故B错误，

对C选项化为标准方程为，故其圆心为，，故C正确，

对D选项化为标准方程为，其圆心为故错误.

故选：C.

5．【答案】A

【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.

【详解】因为在平行六面体中，，

所以.

故选：A.

6．【答案】B

【详解】两直线方程可整理为：与，

两直线平行，，解得：.

故选：B.

7．【答案】B

【分析】根据向量共面关系，建立坐标等式即可得解.

【详解】向量，，，由，，共面，

，即

，解得，．

故选：B．

8．【答案】C

【分析】

求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，圆与圆

可得，，

因为两圆相外切，可得，解得．

故选：C.

9．【答案】A

【分析】

求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】

设圆心，则，

化简得，

圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

，

，