福建省部分优质高中2024−2025学年高二上学期期中质量检测数学试题[含答案].docx

福建省部分优质高中2024?2025学年高二上学期期中质量检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（????）

A． B． C． D．

2．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（????）

A． B．

C． D．

3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

4．“”是“直线与直线垂直”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（????）

??

A． B．

C． D．

6．过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（）

A． B．

C． D．

7．已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（????）

A．或 B．或 C．或 D．或

二、多选题（本大题共3小题）

9．给出以下命题，其中错误的是（????）

A．平面的法向量分别为，则

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直

D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则

10．已知直线，直线，则下列说法正确的为（????）

A．若，则

B．若两条平行直线与间的距离为，则

C．直线过定点

D．点到直线距离的最大值为

11．已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（????）

A．的周长为6 B．A，，三点共线

C．A，两点间的最短距离为2 D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知圆与圆有且仅有一条公切线，则该公切线方程为.

13．已知椭圆和直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是．

14．斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知顶点、、．

(1)求边的垂直平分线的方程；

(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．

16．如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点.

(1)求证：平面;

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

17．在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长为4.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)若与椭圆的相交于两点，求的长度；

(3)若直线的交点Q在椭圆上，求点的坐标.

18．已知的圆心在x轴上，经过点和．

(1)求的方程；

(2)过点的直线l与交于A、B两点．

（ⅰ）若，求直线l的方程；

（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．

19．法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为.

(1)求椭圆的蒙日圆的方程；

(2)若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）；

(3)设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值.

参考答案

1．【答案】B

【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为.

故选：B.

2．【答案】D

【分析】根据空间点关于原点对称点的特征可得正确的选项.

【详解】点关于原点对称的点的坐标为，

故选：D.

3．【答案】B

【详解】将椭圆方程变形为，因为焦点在轴上，所以，解得．

故选：B.

4．【答案】A

【详解】若直线与直线垂直，

则，解得，

所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.

故选：A.

5．【答案】A

【详解】，，，

则．

故选：A．

6．【答案】B

【详解】??

设直线的倾斜角为，，

当直线的斜率不存在时，，符合，

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，

因为点，，，则，，

因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以，

因为，又，所以，

所以直线的倾斜角范围为.

故选：B.

7．【答案】D

【详解】直线恒过，直线恒过，

由，得直线和互相垂直，因此两条直线的交点在以为端点的直径的圆上，

则的轨迹方程为，（去掉），其圆心，半径，

由于垂直于直线，则M到该直线的距离为，而，

因此，即，而当时，点的坐标为，不符合题意，

所以的取值范围是.

故选：D

8．【答案】B

【详解】由，得，则，则，

则，即，解得，

则，

因为，所以，

即，整理得，

则，解得或，

故或．

故选：B.

9．【答案