2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　6.2　第2课时　含参函数的极值问题.docx

第2课时含参函数的极值问题

[学习目标]1.进一步理解函数的导数与极值的关系.2.掌握函数在某一点取得极值的条件.3.能求简单的含参的函数的极值，能根据极值求参数的取值范围．

一、求含参函数的极值

例1已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．

反思感悟求含参函数极值的步骤与求不含参函数极值的步骤相同，但要注意有时需要对参数进行分类讨论．

跟踪训练1求函数f(x)＝x－alnx(a∈R)的极值．

二、已知函数的极值求参数的值(或范围)

例2若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.

反思感悟已知函数极值求参数值的两点注意

(1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．

跟踪训练2已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．

三、函数极值的综合问题

例3已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

延伸探究本例中，若把“三个不同的实根”改为“唯一一个实根”，结果如何？

反思感悟函数极值可应用于求曲线与曲线(或坐标轴)的交点，求方程根的个数等问题时，往往先构造函数，利用极值，并结合图象来解决．

跟踪训练3已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝eq\f(1,3)f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

1.知识清单：

(1)求含参函数的极值．

(2)已知函数的极值求参数的值或取值范围．

(3)极值的综合应用．

2．方法归纳：列表法、待定系数法，分类讨论思想．

3．常见误区：函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．

1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a等于()

A．2 B．3

C．4 D．5

2．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为()

A．(－1,2)

B．(－3,6)

C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

3．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________．

4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是________．