广东省广州市第四中学2024−2025学年高二上学期10月月考数学试卷[含答案].docx

广东省广州市第四中学2024?2025学年高二上学期10月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中，无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是5的倍数的概率为（????）

A． B． C． D．

2．如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（????）

A． B．

C． D．

3．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

4．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点（????）

A． B． C． D．

5．已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（????）

A． B．

C． D．

6．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，三角形重心为G，则点P到直线的距离为（????）

A． B． C． D．

7．已知实数x，y满足，且，则的取值范围（）

A． B．

C． D．

8．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为（????）

A．4 B．8 C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为，，两人能否获得满分相互独立，则（????）

A．两人均获得满分的概率

B．两人至少一人获得满分的概率

C．两人恰好只有甲获得满分的概率

D．两人至多一人获得满分的概率

10．已知函数，则（????）

A．的一个对称中心为

B．的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象

C．在区间上单调递增

D．若在区间上与有且只有6个交点，则

11．如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为、的中点，G是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（????）

A．直线AG与平面AEF所成角的余弦值的取值范围为

B．点G到平面AEF的距离为

C．四面体AEFG的体积为

D．若线段的中点为H，则GH一定平行于平面AEF

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为．

13．若直线与直线平行，则直线与的距离为.

14．已知点P在直线上，点，，则的最小值为，此时点P坐标为

四、解答题（本大题共5小题）

15．某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

??

(1)求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；

(2)若认定评分在80,90内的学生为“运动爱好者”，评分在90,100内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.

16．如图所示，平行六面体中，，，，．记，，，

(1)用向量，，表示向量，并求；

(2)求．

17．如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点.

??

(1)证明：平面；

(2)求二面角的平面角的正切值.

18．已知的内角所对的边分别是.

(1)求角；

(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.

19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.

参考答案

1．【答案】A

【分析】利用古典概型概率的计算公式即可求出结果.

【详解】根据题意可知，从6个数字中无放回地随机抽取两张，共有种，

若要是5的倍数，则两张卡片中必有一张是5；

若第一张抽到的是5，共有5种抽法；若第二张抽到的是5，共有5种抽法；共10种抽法；

所以所求概率为.

故选：A.

2．【答案】B

【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.

【详解】

.

故选B.

3．【答案】B

【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解.

【详解】在正方体中，连接，，可得，

所以异面直线与所成角即为直线与所成角，

即为异面直线与所成角，

不妨设，则，，

取的中点，因为，所以，

在直角中，可得.

故选：B.

4．【答案】B

【详解】由题意，设直线上的任意一点，则点A关于点的对称点为，

又由点在直线上，即，

整理得，令，即时，，

可得直线过定点，故选B.

5．【答案】C

【详解】如果事件与互斥，则，所以.

如果事件与相互独立，则事件与也相互独立，

所以，

，即.

故选：C.

6．【答案】