湖北省高中名校联盟2025届高三上学期第二次联合测评数学试卷[含答案].docx

湖北省高中名校联盟2025届高三上学期第二次联合测评数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，若，则实数的取值范围为（????）

A． B． C．0,2 D．

2．已知，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（????）

A． B． C． D．

3．已知为实数，是关于的方程的一个根，则（????）

A． B．2 C．4 D．

4．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（????）

A． B．

C． D．

5．若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为（????）

??

A． B．4 C．6 D．

7．在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数的部分图象如图所示，若所在平面不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（????）

??

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为，则下列说法正确的是（????）

A．若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大

B．若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小

C．若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小

D．这组数据的第75百分位数为181

10．已知抛物线，过点的直线与交于两点，直线分别与的准线交于两点.则下列说法正确的是（????）

A．

B．直线的斜率分别记为，则为定值

C．的取值范围为

D．面积的最小值为

11．如图，在长方体中，为棱上一点，且，平面上一动点满足是该长方体外接球（长方体的所有顶点都在该球面上）上一点，设该外接球球心为，则下列结论正确的是（????）

A．长方体外接球的半径为

B．点到平面的距离为

C．球心到平面的距离为

D．点的轨迹在内的长度为

三、填空题（本大题共3小题）

12．记为等差数列的前项和，若，则.

13．已知为锐角，且，则.

14．对任意，都有，则实数的取值范围为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．记的内角、、的对边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)若边的中点为，且，外接圆的半径为，求外接圆的半径.

16．如图，球的半径为，为球面上三点，若三角形为直角三角形，其中.延长与球的表面交于点.

(1)求证：平面；

(2)若直线与平面所成的角分别为，试求二面角的正弦值.

17．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

18．已知椭圆的左?右焦点分别为，点在上，且的离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)点为上一动点（不与的左?右端点重合）.

①当时，求的面积；

②点在线段上，且和的内切圆半径相等，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

19．对任意，都存在.若数列满足，且，则称为“阶好数列”.记为“阶好数列”的个数.例如，对，有3个“6阶好数列”，分别为①；②；③.因此.

(1)直接写出的值；

(2)求，其中；

(3)给定，求证：存在，使得对任意，都有.

参考答案

1．【答案】B

【详解】因为，

所以由数轴可得，

故实数的取值范围为.

故选：B.

2．【答案】C

【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点，

设点，则，解得，所以点的坐标为.

故选：C.

3．【答案】D

【详解】因为是关于的方程的一个根，

所以，即.

所以且，解得，

所以.

故选：D

4．【答案】C

【详解】由题知，，解得，

又双曲线的焦点在轴上，所以该双曲线的渐近线方程为.

故选：C.

5．【答案】C

【详解】由题意，，且对任意，

，①

且，②

对于①，，结合，得.

若，由②知对任意，矛盾；

若，由②知对任意，即，

则，得，

综上，当时，对任意，①②同时成立.

故选：C

6．【答案】A

【详解】由题意知：，且，则.

将三角形展开到与三角形共面，记为三角形，

????

可知共线，则.

可得，当共线时取等号.

又因为，

在中，由余弦定理得，

即，所以的最小值为.

故选：A.

7．【答案】D

【详解】

如图，将直线分成3种情况：

，均平行于上底面或下底面，有条；

，均不平行于正三棱柱的某个平面；

，均平行于某个侧面，有条.

又直线总数为条，故所求概率为.

故选：D.

8．【答案】B

【详解】由图得，所以，得，

所以，将代入，得，

所以，于是，即.

又，所以，所以.

因为，所以，则.

所以，令，则.

不等式在上恒成立，即在上恒成立.

若且，所以即可，

又