2023届高考数字专项复习培优专题 1 平面向量与三角形的“四心” 含答 .pdfVIP

2023届高考数字专项复习培优专题1平面向量与三

角形的“四心”

三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感

觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与

“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要

领。

知识点1三角形的内心

1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆

心).如图，点P

注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等

2、常见内心的向量表示：

|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0aPA+bPB+cPC=0

（1）（或）

其中a,b,c分别是ABC的三边BC、AC、AB的长

ABAC

P



(),(0,)

（2）AP=++，则点的轨迹一定经过三角形的内心

|AB||AC|

ABAC

(+)



（注：向量(0)所在直线过ABC内心(是BAC角平分线所在直线)）

ABAC

3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，

即两个单位向量的和向量。

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拓展：O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OP=OA+t(+)，证明的轨迹一定通过ABC的内心．

P

|AB||AC|

ABAC

【解析】证明：、分别表示与AB、AC方向相同的单位向量，

|AB||AC|

ABAC

+的方向与BAC的角平分线方向一致；

|AB||AC|

ABACABAC

又OP=OA+t(+)，AP=t(+)；

|AB||AC||AB||AC|

AP的方向与BAC的角平分线方向一致，

点P的轨迹一定通过ABC的内心．

知识点2三角形的外心

1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆

的圆心）

注：外心到三角形各顶点的距离相等.

2、常用外心的向量表示：

（1）222

|OA=||OB=||OC|OA=OB=OC

（2）(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=(OA+OC)AC=0

变形：P为平面ABC内一动点，若

(OA+OB)(PB−PA)=(OB+OC)(PC−PB)=(OA+OC)(PC−PA)=0，则O为

三角形的外心

3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律

从而得到三角形的外心。

知识点3三角形的“重心”

1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如

图,点G

注：重心将中线长度分成2：1

2、常见重心的向量表示：

设G是ABC的重心，P为平面内任意一点.

（1）GA+GB+GC=0

2

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