2025北师大版步步高选择性必修第二册进阶训练2(范围：第一章§2.2).DOCX

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进阶训练2(范围：第一章§2.2)

一、基础达标

1.等差数列{an}中，a2＝2，公差d＝2，则S10＝()

A.200 B.100

C.90 D.80

答案C

解析依题意a1＝a2－d＝0，所以S10＝10a1＋45d＝45×2＝90.故选C.

2.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知Sn＝2n2＋3n，则数列{an}的公差为()

A.4 B.2

C.1 D.eq\f(1,2)

答案A

解析设d为数列{an}的公差，因为Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，所以eq\f(d,2)＝2，则d＝4.

3.《张丘建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织布五尺，末日织一尺，计织三十日，问第11日至第20日这十日共织布()

A.30尺 B.40尺

C.6尺 D.60尺

答案A

解析由题意，女子织布构成等差数{an}，有a1＝5，a30＝1，故a11＋a12＋a13＋…＋a20＝eq\f(10（an＋a20）,2)＝eq\f(10（a1＋a30）,2)＝5×6＝30，所以第11日至第20日这十日共织布30尺.

4.在前n项和为Sn的等差数列{an}中，若3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则S8＝()

A.24 B.12

C.16 D.36

答案B

解析因为a1＋a5＝2a3，a3＋a9＝2a6，且3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则6a3＋6a6＝18，有a3＋a6＝3，则S8＝eq\f(8（a1＋a8）,2)＝4(a3＋a6)＝12.故选B.

5.(多选)等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a10，S7＝S17，则()

A.d0

B.a120

C.Sn≤S13

D.当且仅当Sn0时，n≥26

答案AB

解析因为等差数列中S7＝S17，所以a8＋a9＋…＋a16＋a17＝5(a12＋a13)＝0，

又a10，所以a120，a130，所以d0，Sn≤S12，故A、B正确，C错误；

因为S25＝eq\f(25（a1＋a25）,2)＝25a130，故D错误.故选AB.

6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝________.

答案52

解析由于a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，所以a4＋a10＝8，所以S13＝eq\f(a1＋a13,2)×13＝eq\f(a4＋a10,2)×13＝eq\f(8,2)×13＝52.

7.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若eq\f(a6,a3)＝eq\f(5,11)，则eq\f(S11,S5)＝________.

答案1

解析由等差数列的前n项和公式可得

eq\f(S11,S5)＝eq\f(\f(11（a1＋a11）,2),\f(5（a1＋a5）,2))＝eq\f(\f(11×2a6,2),\f(5×2a3,2))＝eq\f(11,5)×eq\f(a6,a3)

＝eq\f(11,5)×eq\f(5,11)＝1.

8.我国古代数学名著《张丘建算经》有“分钱问题”如下：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还数聚与均分之，人得一百钱，问人几何.”则分钱问题中的人数为________.

答案195

解析设人数为n，则由题意可知，每人分得钱数构成公差为1，首项为3的等差数列，且前n项和Sn＝100n，又Sn＝eq\f(n（n－1）,2)＋3n，所以eq\f(n（n－1）,2)＋3n＝100n，解得n＝195.

9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，满足S7＝a4.

(1)若a3＝2，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)若a10，且Sn≤an，求n的取值范围.

解(1)设等差数列{an}的公差为d，

∵S7＝a4，∴7a1＋eq\f(7×6,2)d＝a1＋3d，

∴a1＝－3d，

∵a3＝2，∴a1＋2d＝2，解得a1＝6，d＝－2，

∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋8(n∈N＋)，

∴Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝6n－n(n－1)

＝－n2＋7n(n∈N＋).

(2)∵a10，由S7＝a4，可知a1＝－3d，

∴d0，∵Sn≤an，

∴－3nd＋eq\f(n（n－1）,2)d≤－3d＋(n－1)d，

∵d0，∴－3n＋eq\f(n（n－1）,2)≤－3＋(n－1)，

即n2－9n＋8≤0，解得1≤n≤8.