专题1.1 集合（六大重难点题型）（精讲） 解析版.docx

专题1.1集合

目录

一、考纲要求

1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算。

二、考点网络

考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）集合的概念与表示

（2）集合的基本关系

（3）集合的基本运算

2024年I卷，第1题，5分

2023年I卷，第1题，5分

2023年II卷，第2题，5分

2022年I卷，第1题，5分

高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.

四、考点梳理

考点1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法．

(4)常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N＋(或N*)

Z

Q

R

(5)集合的分类

若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集、数集等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“?”表示，规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．解题时切勿忽视空集的情形．

考点2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)

A?B

(或B?A)

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB

(或BA)

集合相等

集合A，B中元素完全相同或集合A，B互为子集

A＝B

子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.

考点3.集合的运算

如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U表示；

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

符号

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

?UA＝{x|x∈U，且x?A}

考点4、知识拓展

1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.

2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.

3．奇数集：.

4.数集运算的封闭性,高考多次考查,基础知识如下:若从某个非空数集中任选两个元素(同一元素可重复选出),选出的这两个元素通过某种(或几种)运算后的得数仍是该数集中的元素,那么,就说该集合对于这种(或几种)运算是封闭的.自然数集N对加法运算是封闭的;整数集Z对加、减、乘法运算是封闭的.有理数集、复数集对四则运算是封闭的.对加、减、乘运算封闭的数集叫数环,有限数集{0}就是一个数环,叫零环.设F是由一些数所构成的集合,其中包含0和1,如果对F中的任意两个数的和、差、积、商(除数不为0),仍是F中的数,即运算封闭,则称F为数域.

5.德?摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即；

②交集的补集等于补集的并集，即．

重难点题型(一)集合的表示法：列举法、描述法

例1．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（????）

A．6 B．5 C．4 D．7

【答案】C

【解析】根据题意，因为，，所以.故选：C.

例2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若，则中所有元素之和为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由，求出或，再分类讨论由集合的互异性可求出，即可得出答案.

【详解】由得或，解得：或，

若，则，不符合题意；

若，，从而，

所以中所有元素之和为4，

故选：C．

【变式训练1】．（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可.

【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误；

对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误；

对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误，

对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确；

故选：D.

【变式训练2】．（23-24高三上·上海杨浦·期中）设集