专题2.7 函数与方程（八大重难点题型,精讲）原卷版.docx

专题2.7函数与方程

目录

一、考纲要求

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

2.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解函数的零点与方程的解的联系.

（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.

（3）了解用二分法求方程的近似解．

2022年天津卷第15题，5分

2021年天津卷第9题，5分

2021年北京卷第15题，5分

从近几年高考命题来看，高考对函数与方程也经常以不同的方式进行考查，比如：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题，以选择题、填空题、解答题等形式出现在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、深刻，值得广大师生关注．

四、考点梳理

考点一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

考点二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

考点三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

考点四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

考点五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

重难点题型(一)函数零点所在区间的判断（二分法）

例1．（2016·陕西商洛·二模）函数的零点所在的大致区间的

A． B． C． D．

例2．（2023·广东梅州·二模）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（????）

A． B． C． D．

【变式训练1】．（2015·辽宁朝阳·一模）方程的解所在的区间为

A． B． C． D．

【变式训练2】．（2010·黑龙江哈尔滨·一模）用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（????）

(参考数据：，，)

A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56

【解题总结】

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

重难点题型(二)利用函数的零点确定参数的取值范围

例3．（2023·宁夏银川·三模）（多选题）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

例4．（22-23高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【变式训练3】．（2023·山西阳泉·三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【变式训练4】．（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（????）

A．－1 B．2 C．3 D．4

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

重难点题型(三)方程根的个数与函数零点的存在性问题

例5．（2024·福建泉州·模拟预测）函数的零点数量至多为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

例6．（2024·四川成都·三模）若函数大于0的零点有且只有一个，则实数的值为（????）

A．4 B． C． D．

【变式训练5】．（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【变式训练6】．（2024·江西九江·三模）已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是.

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

重难点题型(四)自我嵌套函数的零点