专题3.1 导数的概念及运算（三大重难点题型）（精讲）解析版.docx

专题3.1导数的概念及运算

目录

一、考纲要求

1.了解导数概念的实际背景；

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；

3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝x3，y＝eq\r(x)的导数；

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数；

5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；

6.了解微积分基本定理的含义。

二、考点网络

三、考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．

（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．

（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．

2022年I卷第15题，5分

2021年甲卷第13题，5分

2021年I卷第7题，5分

高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．

四、考点梳理

考点1．导数的概念

函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．

知识点诠释：

①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有

多近，即可以小于给定的任意小的正数；

②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

无限接近；

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即．

考点2．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

（为常数）

考点3.导数的运算法则

（1）函数和差求导法则：；

（2）函数积的求导法则：；

（3）函数商的求导法则：，则．

考点4．复合函数的导数

复合函数的导数和函数，的导数间关系为：

重难点题型（一）导数的定义

例1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（??????）

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得.

【详解】依题意，，则，即，

所以曲线在点处的切线的斜率是9.

故选：D

例2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲?乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（????）

①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢；

②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快；

③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢；

④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项.

【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确；

②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确；

③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确；

④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确.

故选：D

例3．（24-25高三上·吉林长春·开学考试）数在上可导，若，则.

【答案】12

【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.

【详解】根据导数定义可

.

故答案为：12

【变式训练1】．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（??）

A． B．6 C．3 D．

【答案】B

【分析】由导数的定义求解即可．

【详解】由题意可知，，

故选：B

【变式训练2】．（24-25高三·上海·课堂例题）如图，函数y=fx图像在点处的切线方程是，则.

??

【答案】

【分析】结合导数的定义求解即可.

【详解】因为函数y=fx图像在点处的切线方程是

则函数y=fx图像在点

故答案为：.

【变式训练3】．（23-24高二下·山东菏泽·期中）若函数在处可导，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据在某点处的导数的定义即可求解.

【详解】由题得.

故选：B.

重难点题型（二）导数的运算

例4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若2025，则等于（????）

A． B．1 C． D．e

【答案】B

【分析】求函数fx的导函数，由条件列方程求.

【详解】，

由，

所以，

则，解得．

故选：B．

例5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则（????）

A．0 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对函数求导，再令，得，即可求解．

【详解】，

令，得，得，

则，得，

故选：C

例6．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，且，则