2024-2025学年上海交通大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解.docx

上海交通大学附属中学2024-2025学年度第一学期

高一数学期中试卷

（说明：本试卷满分160分,考试时间120分钟,本套试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不作评分依据．）

考试说明：试卷最后的附加题为非必答题,分值10分

一,填空题（本大题满分54分,前6题每题4分,后6题每题5分,填错或不填在正确的位置一律得零分）

1．在实数范围内,的四次方根是．

2．已知,则的值为．

3．比较下列两数的大小关系,的大小（填,或符号）

4．关于的不等式的解集为．若,,则的取值范围是．

5．函数的值域是R,则a的取值范围是

6．已知,,则方程不同解的个数为．

7．在区间上恰有一个x满足方程,则的取值范围为．

8．已知是常数,命题：存在实数,使得．若是假命题,则的取值范围是．

9．函数取到最小值时,实数x的取值范围是．

10．已知,则的最大值为．

11．已知,记集合,．若,则a的取值范围为．

12．已知,．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为,,…,（为正整数）,则．注：．

二,选择题（本大题满分18分,前2题每题4分,后2题每题5分,每题有且仅有一个正确选项）

13．在“①难解的题目,②方程在实数集内的解,③直角坐标平面上第四象限内的所有点,④很多多项式”中,能够组成集合的是（???）

A．②③ B．①③ C．②④ D．①②④

14．已知幂函数是奇函数,且在上是增函数,则满足条件的不同有（???）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

15．已知互不相等的正数a,b,c满足,则下列不等式中可能成立的是（????）．

A． B． C． D．

16．对任意,表示不超过的最大整数,下列性质错误的是（???）

A．存在,使得

B．任意,使得

C．任意,,满足,则

D．任意,,都有

三,解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤．

17．解下列关于的不等式：

(1)．

(2)．

18．已知函数是偶函数.

(1)求的值.

(2)若方程有解,求的取值范围.

19．某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤,分析显示：当中（）的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）,而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为50分钟,试根据上述分析结果回答下列问题：

(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

(2)求该地上班族的人均通勤时间的表达式,并求出的最小值.

20．问题：正实数a,b满足,求的最小值．其中一种解法是：,当且仅当且时,即且时取等号,故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题：

(1)已知a,b是正实数,且,求的最小值．

(2)①已知实数a,b,x,y,满足,求证．

②求代数式的最小值,并求出使得M最小的m的值．

21．已知函数y=fx的定义域为,现有下面两种对y=fx

变换：,其中．

变换：,其中．

(1)若,,对y=fx进行变换后得到函数y=gx,解方程．

(2)若,对y=fx进行变换后得到函数,解不等式．

(3)若函数y=fx在上是严格增函数,对函数y=fx先作变换,再作变换,得到函数,对函数y=fx先作变换,再作变换,得到函数．对任意,若恒成立,证明：函数y=fx在上是严格增函数.

【附加题】

22．已知函数在R上连续,且恒成立,则在上至少有几个不同的解？

1．

【分析】根据指数运算可得解.

【详解】由指数运算可知,.

所以的四次方根是或.

故答案为：.

2．或

【分析】根据集合的关系,得出或,解出,再根据集合元素的互异性即可判断的取值.

【详解】因为,所以有或两种可能.

若,则有,符合题意.

若,解得或,根据集合元素的互异性,有.

若,则有符合题意.

所以的值为或.

故答案为：或

3．

【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断.

【详解】由.

.

且.

又函数在上单调递增.

所以.

即.

故答案为：.

4．

【分析】由,,可得或,解不等式组与方程即可.

【详解】由已知,则,即,解得或.

又,则或,即或,解得.

综上所述或.

故答案为：.

5．

【分析】将问题转化为能够取到所有正数,再讨论的系数,利用判别式可得.

【详解】因为函数的值域是R.

所以能够取到所有正数.

当时,,只能取到1,不符合题意,舍去.

当时,要使能取到所有正数,必有△=,解得.

当时,抛物线的开口向下,不可能取到所有正数,不符合题意.

综上所述:.

故答案为:.

【点睛】本题考查了对数型复合函数的值域,将问题转化为