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2010-2023历年陕西省长安一中等五校高三第二次联合模拟考试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共20题)

1.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为（??）

A．5

B．

C．

D．

2.参数方程中当为参数时，化为普通方程为_______________.

3.函数与的图像交点的横坐标所在区间为（???）

A．

B．

C．

D．

4.正四面体边长为2.分别为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

5.已知面积和三边满足：，则面积的最大值为_______________.

6.观察下面一组组合数等式：

；

；

；

…………

（1）由以上规律，请写出第个等式并证明；

（2）随机变量，求证：.

7.椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于两点.

（1）求椭圆的方程及线段的长；

（2）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.

8.将1,2,…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（????）

A．

B．

C．

D．

9.函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为（????）

A．

B．

C．

D．

10.命题且满足.命题且满足.则是的（??）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11.不等式的解集为__________________.

12.已知满足不等式设，则的最大值与最小值的差为（）?

A．4

B．3

C．2

D．1

13.函数.

（1）令，求的解析式；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：.

14.如图，已知是⊙的切线，为切点.是⊙的一条割线，交⊙于两点，点是弦的中点.若圆心在内部，则的度数为___.

15.过的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为（??）

A．

B．

C．

D．

16.函数，等比数列中，，则_______________.

17.抛物线的准线方程为（?????）

A．

B．

C．

D．

18.向量.函数.

（1）若，求函数的单调减区间；

（2）将函数的图像向左平移个单位得到函数，如果函数在上至少存在2014个最值点，求的最小值.

19.定积分的值为____________.

20.设数列的前n项的和与的关系是.

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：D试题分析：，在上的投影为，因为，，故．

考点：向量的投影，向量的运算．

2.参考答案：试题分析：由参数方程，两式平方作差得，．

考点：参数方程化普通方程．

3.参考答案：B试题分析：函数与的图像交点的横坐标，即为函数的零点，，，故函数的零点所在区间为，即函数与的图像交点的横坐标所在区间为．

考点：函数的零点．

4.参考答案：（1）详见解析；(2)二面角的余弦值.试题分析：（1）求证：平面，证明线面垂直，即证明线线垂直，由于四面体是正四面体，分别为中点，可知，连接，可知，从而可得，从而可证平面；(2)求二面角的余弦值，方法1：找二面角的平面角，可用三垂线定理来找，过分别作底面垂线，垂足分别为，所以为二面角的平面角，求出的余弦值即可，方法2：空间向量法，因为四面体是正四面体，取底面中心为，以分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用平面与平面的法向量的夹角的余弦值即为二面角的余弦值可得，二面角的余弦值．

试题解析：（1）由已知得，连接得，平面.

(2)方法1：过分别作底面垂线，垂足分别为，则，

由，所以为二面角的平面角，在中，，

=.

?

方法2：空间向量法.底面中心为，以分别为轴建立空间直角坐标系。由题意平面的法向量为.平面的法向量为，所以二面角的余弦值.

考点：线面垂直的判断，二面角的求法．

5.参考答案：试题分析：（1）由题意得：，根据余弦定理得：，得，代入上式得：即???，代入?得：?，∵，∴，∴，所以，面积的最大值为．

考点：解三角形．

6.参考答案：(1)；（2）详见解析．试题分析：(1)观察等式规律，易得，有组合数计算公式易证出．（2）随机变量，求证：，显然这是一个二项分布，根据二项分布得，利用(1)的结论，及二项式定理，即可证明．

试题解析：（1），证略.

(2)由二项分布得：

.

考点：归纳推理，二项分布与数学期望．

7.参考答案：（1），；（2）不存在这样的点．试题分析：（1）求椭圆的方程，只需求出即可，由双曲线得，，故得椭圆，从而得椭圆的方程为，求线段的长，只需求出的坐标，由椭圆的方程，及抛物线的方程，联立方程组解得，从而可得线段的长；（2）这是探索性命题，一般假设存在，可设出，代入椭圆的方程，两式作差，得，设出，代入抛物线，两式作差，得，的弦与的弦相互垂直