2022年北京市中考数学一模分类试题汇编——新定义试卷及答案.pdf

2022北京中考数学一模分类汇编——新定义（教师版）

1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），给出如下定义：当

点Q（x，y）满足x+x＝y+y时，称点Q是点P的等和点．

221212

已知点P（2，0）．

（1）在Q（0，2），Q（﹣2，﹣1），Q（1，3）中，点P的等和点有Q，Q；

12313

（2）点A在直线y＝﹣x+4上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标；

（3）已知点B（b，0）和线段MN，对于所有满足BC＝1的点C，线段MN上总存在线

段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的取值范围．

【分析】（1）根据定义判断即可；

（2）设点P（2，0）的等和点为（m，n），则2+m＝n，设A（t，﹣t+4），则A点的等和

点为（m，n），则t+m＝﹣t+4+n，即可求A（3，1）；

（3）由题意可得P点的等和点在直线y＝x+2上，B点的等和点在直线y＝x+b上，设直

线y＝x+b与y轴的交点为B（0，b），再由BC＝1，可得C点在以B为圆心，半径为1

的圆上，则点C的等和点是两条直线之间的区域，以B为圆心，1为半径作圆，过点B

作y＝x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，由MN的最小值为5，可得BM最小值

为4，在Rt△BMP中，BP＝PB＝4，可求OB＝4+2，同理当B点在y轴左侧时

OB＝2﹣4，

【解答】解：（1）Q1（0，2），则2+0＝0+2，

∴Q1（0，2）是点P的等和点；

Q2（﹣2，﹣1），则2+（﹣2）≠0+（﹣1），

∴Q2（﹣2，﹣1）不是点P的等和点；

Q3（1，3），则2+1＝0+3，

∴Q3（1，3）是点P的等和点；

故答案为：Q，Q；

13

（2）设点P（2，0）的等和点为（m，n），

∴2+m＝n，

设A（t，﹣t+4），则A点的等和点为（m，n），

∴t+m＝﹣t+4+n，

∴t＝3，

第1页（共43页）

∴A（3，1）；

（3）∵P（2，0），

∴P点的等和点在直线y＝x+2上，

∵B（b，0），

∴B点的等和点在直线y＝x+b上，

设直线y＝x+b与y轴的交点为B（0，b），

∵BC＝1，

∴C点在以B为圆心，半径为1的圆上，

∴点C的等和点是两条直线之间的区域，

以B为圆心，1为半径作圆，过点B作y＝x+2的垂线交圆与N点，交直线于M点，

∵MN的最小值为5，

∴BM最小值为4，

在Rt△BMP中，BP＝4，

∴PB＝4，

∴OB＝4+2，

同理当B点在y轴左侧时OB＝2﹣4，

∴b＝2﹣4或b＝2+4．

【点评】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，

将所求问题与圆相结合是解题的关键．

第2页（共43页）

2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC与⊙O，给出如下定义：若

△ABC与⊙O有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边BC上（不

与点B，C重合），则称△ABC为⊙O的“点A关联三角形”．

（1）如图，⊙O的半径为1，点C