2022年年北京市中考数学二模分类试题汇编——新定义 试卷及答案.pdf

2022年北京中考数学二模分类汇编——新定义

1．（2022•海淀区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段MN，直线l和图形W给出如

下定义：线段MN关于直线l的对称线段为MN（M，N分别是M，N的对应点）．若

MN与MN“均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线l的“对

称封闭图形”．

（1）如图，点P（﹣1，0）．

①已知图形W：半径为1的⊙O，W：以线段PO为边的等边三角形，W：以O为中心

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且边长为2的正方形，在W，W，W中，线段PO关于y轴的“对称封闭图形”是W、

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W3；

②以O为中心的正方形ABCD的边长为4，各边与坐标轴平行．若正方形ABCD是线段

PO关于直线y＝x+b的“对称封闭图形”，求b的取值范围；

（2）线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及y轴负半轴组成的区域内，且MN

的长度为2．若存在点Q（a﹣2，a+2），使得对于任意过点Q的直线l，有线段

MN，满足半径为r的⊙O是该线段关于l的“对称封闭图形”，直接写出r的取值范围．

【分析】（1）①作出图形，观察得出结果；

②作出点P关于y＝x+b的对称点，须使其对称点在正方形的边上时，是临界值，进而求

得结果；

（2）找出当点Q取（﹣2，2），M（0，﹣），N（，0）时，找出此时r的

最小值，进而求得r的范围．

【解答】解：（1）①如图1，

第1页（共40页）

OP关于y轴对称的线段是OP′，由图可得：

OP和OP′在正方形和圆O内，OP′不在等边三角形内，

∴线段PO关于y轴的“对称封闭图形”为W和W，

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故答案为：W、W；

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（2）如图2，

∵点P关于y＝x+2对称点P′在正方形的边上，点P关于y＝x﹣1的对称点P″在正方

形的边上，

∴﹣1≤b≤2；

（2）如图3，

第2页（共40页）

令x＝a﹣2，y＝a+2，

∴y＝x+4，

∴点Q在直线y＝x+4上运动，

当Q（﹣2，2），M（0，﹣），N（，0）时，r的值最小，

取点MN的中点A，连接AQ并延长至B，使BQ＝AQ，

∵OA＝，OQ＝4，

∴AQ＝5，

∴BQ＝5，

∴OB＝9，

作点M关于y＝x+4的对称点C，

∴四边形AMCB是矩形，

∴BC＝AM＝1，

∴OC＝＝，

∴r≥．

【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，轴对称性质，与圆有关位置等知识，解决问

题的关键是几何直观能力．

2．（2022•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB与直线l：y＝kx+b，给出

如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为AB（A，B分别为点A，B的对应点），

则称线段AB为线段AB的“[k，b]关联线段”．

已知点A（1，1），B（1，﹣1）．

（1）线段AB为线段AB的“[1，b]关联线段”，点A的坐标为（2，0），则AB的长为2，

b的值为﹣1；