2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　2.1　第2课时　等差数列的性质.docx

第2课时等差数列的性质

[学习目标]1.了解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．

一、等差中项

问题1由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？

知识梳理

等差中项的概念

如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的______________，即A＝eq\f(a＋b,2).

例1在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．

反思感悟在等差数列{an}中，

(1)an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝eq\f(an＋1＋an－1,2)(n≥2，n∈N＋)．

(2)当m＋n＝2p时，有ap是am与an的等差中项．

跟踪训练1若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．

二、等差数列与一次函数的关系

问题2观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

知识梳理

从函数角度研究等差数列

对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些________________的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的________，即自变量每增加1，函数值增加d.

当________时，数列{an}为______________，如图甲所示．

当________时，数列{an}为______________，如图乙所示．

当________时，数列{an}为____________，如图丙所示．

例2(多选)下列判断正确的是()

A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列

B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列

C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率

D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0

反思感悟根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列?an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．

跟踪训练2等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是()

A．第7项 B．第8项

C．第9项 D．第10项

三、等差数列的性质

问题3在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？

知识梳理

等差数列的性质

1．若数列{an}是公差为d的等差数列，

(1)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．

(2)抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为________的新的等差数列．

(3)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列．

2．等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.

例3(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75；

(2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．

延伸探究本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值．

反思感悟解决等差数列运算问题的一般方法

一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．

跟踪训练3(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.

(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．

1.知识清单：

(1)等差中项的概念．

(2)等差数列的单调性及图象．

(3)等差数列的性质．

2．方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法．

3．常见误区：

(1)对等差数列的性质不理解而致错．

(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．

1．已知数列1，a,5是等差数列，则实数a的值为()

A．2B．3C．4D.eq\r(5)

2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()

A．3B．－3C.eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)

3．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是()

A．公差为d的等差数列