2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　2.2　第2课时　等差数列前n项和的性质.docx

第2课时等差数列前n项和的性质

[学习目标]1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．

一、等差数列前n项和的性质

问题1等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？

问题2公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？

知识梳理

等差数列{an}的前n项和Sn的性质

性质1：“片段和”性质

等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列

性质2：“奇偶项”性质

若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(an＋1,an)(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(n－1,n)(S奇≠0)

角度1“片段和”性质的应用

例1已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为()

A．130B．170C．210D．260

角度2“奇偶项”性质的应用

例2项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．

反思感悟利用等差数列前n项和的性质简化计算

(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．

(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．

(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．

跟踪训练1(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为()

A．9B．12C．16D．17

(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(11,13)，则公差d＝________.

二、等差数列前n项和的函数性质与最值

问题3根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？

知识梳理

等差数列前n项和的函数性质与最值

1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d可化成关于n的函数得Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.

2．因为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d0时，Sn有________值；当d0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．

3．在等差数列{an}中，当a10，d0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))确定；当a10，d0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))确定．

例3在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．

延伸探究把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．

反思感悟求等差数列前n项和的最值的方法

(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．

(2)通项法：当a10，d0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))时，Sn取得最大值；当a10，d0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))时，Sn取得最小值．

跟踪训练2已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？

1.知识清单：

(1)等差数列前n项和的性质及应用．

(2)等差数列前n项和的最值问题．

2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想．

3．常见误区：

(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误．

(2)不注意运用性质导致解题烦琐．

1．在等差数列{an}中，