2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　3.2　第2课时　等比数列前n项和的性质.docx

第2课时等比数列前n项和的性质

[学习目标]1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．

一、等比数列前n项和公式的函数特征

问题1我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？

知识梳理

等比数列前n项和公式的函数特征

在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝________________.即Sn是n的指数型函数．

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝________，Sn是n的正比例函数．

例1数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列．

延伸探究若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1＋5，则实数a＝________.

反思感悟(1)已知Sn，通过an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．

跟踪训练1若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.

二、等比数列前n项和的“片段和”性质

问题2你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?

问题3类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？

知识梳理

“片段和”性质

1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋________(n，m∈N＋)．

2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，________________仍构成等比数列．

例2在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.

反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法

(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．

(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

跟踪训练2设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于()

A．－9B．－21C．－25D．－63

三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质

问题4类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？

知识梳理

若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

(1)在其前2n项中，eq\f(S偶,S奇)＝________；

(2)在其前(2n＋1)项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝eq\f(a1＋a2n＋1q,1－?－q?)＝eq\f(a1＋a2n＋2,1＋q)(q≠－1)．

例3若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为______，项数为________．

反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法

(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住eq\f(S偶,S奇)＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．

(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．

跟踪训练3一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝______________.

1.知识清单：

(1)等比数列前n项和公式的函数性质．

(2)等比数列前n项和的“片段和”性质．

(3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质．

2．方法归纳：公式法、分类讨论法．

3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．

1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是()

A．1B．0C．2D．－1

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()

A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3

3．在等