专题06 解三角形及应用（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）（解析版）.pdfVIP

专题解三角形及应用

06

易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）

1．方法技巧：解三角形多解情况

在中，已知，和时，解的情况如下：

△ABCabA

A为锐角A为钝角或直角

图形

bsinAab

关系式absinAababab

解的个数一解两解一解一解无解

2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，

要选择边化角或角化边，变换原则常用：

“”“”

（）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，角化边；

1“”

（）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，边化角；

2“”

（）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，角化边；

3“”

（）代数变形或者三角恒等变换前置；

4

（）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

5

（）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到ABC．

6

技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦

定理能够解决两类问题

问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。

问题：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角这是由于正弦函数在在区间0,内不严格格单调，

2,

此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。

题设三角形中，已知一个角和两个边a,b，判断三角形个数，遵循以下步骤

A

第一步：先画一个角并标上字母A

第二步：标斜边（非对角边）b

第三步：画角的高，然后观察（a,bsinA）

易错提醒：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解

的个数.

例．设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列结论正确的是（）

A．若ab，则sinAsinB

B．若222，则ABC为钝角三角形

abc

π

C．若a10,c8,C，则符合条件的ABC有两个

3

D．若acosAbcosB，则ABC为等腰三角形或直角三角形

ab

【详解】A：由正弦定理可知：，因为ab，所以sinAsinB，因此本选项正确；

sinAsinB

B：根据余弦定理由2222222，

abcabab2abcosCcosC0

π

因为C(0,π)，所以有C(,π)，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；

2