数学期中解答压轴题（2023江苏期中归纳）（解析版）.docx

特训03期中解答压轴题（2023江苏期中归纳）

一、解答题

1．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）阅读并解决问题．

对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．

(1)利用“配方法”分解因式：；

(2)19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解；

(3)若，求m和n的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将多项式加4再减去4，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；

（2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；

（3）已知等式变形后，利用完全平方公式分解因式即可．

【解析】（1）

（2）

（3）∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，偶次方，分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

2．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）在数学中，我们常常利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你利用数形结合的思想解决下列问题．

(1)如图①，现有、的正方形纸片和的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片在下面的虚线方框中拼成一个正方形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的矩形面积为，并标出此正方形的边长．

(2)如图②所示的小长方形，长为a，宽为b，按照图②的方式不重叠的放在大长方形ABCD内未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，当AB的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系．

【答案】(1)答案不唯一，见解析

(2)

【分析】

（1）由于，由此得到正方形的边长为．

（2）设，先求出、，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与x的值无关，由此即可得．

【解析】（1）解：（1）如图，拼图如下：

（2）设，

由图可知，，，

则

．

∵当AB的长变化时，的值始终保持不变，

∴的值与x的值无关，

∴，

∴．

【点睛】

本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减，因式分解的应用等知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．

3．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）在学习《整式乘法与因式分解》一章时，我们从计算图形面积入手，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积，这样就可以得到一个等式．从而进一步得到一些整式乘法法则、乘法公式，解决一些问题．这种解决问题的方法称之为面积法．

(1)如图1，边长为a的正方形纸片，在其右边和下边同时剪去宽为b的长方形，计算剩余纸片（图中阴影部分）的面积，可得等式：________；

(2)两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两直角边都是c的直角三角形拼成图2，试用不同的方法计算这个图形的面积，并对所得到的等式进行化简；

(3)利用（2）中的结论计算：在直角三角形中，一条直角边的长为6，斜边的长为10，求另一直角边b的长度；

(4)如图3，在直角三角形中，，，垂足为D．且，．求的长．

【答案】(1)

(2)这个图形的面积是；化简为

(3)

(4)

【分析】（1）用两种不同方式计算阴影部分面积即可求解；

（2）用三个直角三角形可得面积，直接利用梯形可得面积，由此可得等式，化简即可；

（3）直接利用（2）中等式，代入求解即可；

（4）利用（2）中等式，再结合等面积法求解即可．

【解析】（1）解：由题意可得阴影部分面积为：，

阴影部分面积为：，

∴，

故答案为：；

（2）由题意得：，

，

，

∴；

（3）由（2）得，得：，

即：，

解得：；

（4）由（2）得，

∴

∴

∵：

∴

∴．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式，结合图形得出关系式是解题的关键．

4．（21-22七年级下·江苏苏州·期中）如图，AB?CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线．

(1)如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H．

①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝°；

②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由；

(2)如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时,将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内