讲义-垂径定理.docVIP

一、内容提要：

圆的轴对称性：过圆心的任一条直线〔直径所在的直线〕都是它的对称轴。

垂径定理

垂径定理包含两个条件和三个结论，即

CDABO

C

D

A

B

O

E

符号语言：

推论1：在〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕、〔5〕中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。

推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。

相关概念：弦心距：圆心到弦的距离〔垂线段OE〕。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题〔利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE〕。

二、概念辨析题：

1．下面四个命题中正确的一个是〔〕

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心

2．以下命题中，正确的选项是〔〕．

A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心

C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧

三、典型例题分析：

例题1、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如下图，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

说明：此题主要考查垂径定理．易错点是忘记油面宽度是的2倍．

例题2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.

说明：①此题的目的主要是培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②作辅助线的能力．

例题3、：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.

说明：作出弦的弦心距，构成垂径定理的根本图形是解决此题的关键.

例题4、如图，在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.

〔1〕求证：四边形是正方形.

〔2〕假设，，求圆心到弦和的距离.

例题5、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

A

A

B

D

C

E

O

说明：此题是利用垂径定理的计算问题，要充分利用条件∠BED=30°，构造出以弦心距、半径、半弦组成的一个直角三角形，通过解直角三角形求解。

例题6、：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．

说明：①此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的图形，此题有两种情况；②利用条件构造垂径定理的根本图形解题．

例题7、在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

说明：此题没有图形，在解题时应考虑到满足条件的两弦可能在圆心的同侧，也可能在在圆心的两侧，即有两解.

O

O

A

P

B

C

例题8、如下图，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。

例题9、如下图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。

O

O

A

B

C

D

E

例题10、如下图，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。

C

C

A

B

D

E

例题8、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例题9、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.

求证：.

例题10、：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.

说明：此题考查垂径定理的应用，解题关键是正确作出辅助线，易错点是无视证

例题11、某机械传动装置在静止状态时，如下图，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。

O

O

A

B

P

四、检测与反应：

1．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么以下结论中，错误的选项是〔〕．

A．CE=DEB．C．∠BAC=∠BADD．ACAD

(图1)(图2)(图3)〔图4〕

2．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是〔〕

A．4B．6C．7D．8

3．如图3，⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，那么圆心O到AB的距离是〔〕

A．1m