2025北师大版步步高选择性必修第二册第一章　2.1　第3课时　等差数列的综合问题.docx

第3课时等差数列的综合问题

[学习目标]1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解.2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列.3.学会解决与等差数列有关的综合问题．

一、等差数列的判定与证明

例1已知函数f(x)＝eq\f(3x,x＋3)(x≠0)，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定．

(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差数列；

(2)当x1＝eq\f(1,2)时，求x100.

反思感悟判断一个数列是等差数列的方法

(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列．

(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．

(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列．

跟踪训练1(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．

(2)判断下列数列是否为等差数列：

①an＝3n－1；

②an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,n－1，n≥2.))

二、等差数列项的设法及运算

例2已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．

延伸探究本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．

反思感悟三个数或四个数成等差数列的设法

当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量．

跟踪训练2已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．

三、等差数列的综合问题

例3已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,4)，an＝2－eq\f(1,an－1)(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝eq\f(1,an－1)(n∈N＋)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；

(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项．

反思感悟解决等差数列综合问题的方法策略

(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．

(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组)．

(3)利用函数或不等式的有关方法解决．

跟踪训练3数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)．

(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由．

1.知识清单：

(1)等差数列的判定方法．

(2)等差数列项的设法与运算．

(3)等差数列的综合问题．

2．方法归纳：定义法、通项公式法、中项法．

3．常见误区：

(1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件．

(2)四个数成等差数列时错误设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.

1．如果一个数列的前三项分别为1,2,3，下列结论中正确的是()

A．它一定是等差数列

B．它一定是递增数列

C．通项公式是an＝n

D．以上结论都不一定正确

2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为()

A．a6B．a7C．a8D．a9

3．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1－2an＝4，则a2023的值为________．

4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为________．