2025北师大版步步高选择性必修第二册培优课　导数与函数零点问题.DOCX

培优课导数与函数零点问题

函数的零点问题是常考的热点之一，在考查时除了利用零点存在性定理解决问题外，还通常转化为对应方程的根，或转化为两个函数的交点问题，通常用到函数与方程、数形结合的思想方法.利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大.

类型一利用导数研究函数的零点个数

讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况.根据零点存在定理判断(证明)零点的存在性，确定函数零点的个数.

例1已知函数f(x)＝ex－ax－1(a∈R)(e＝2.71828…是自然对数的底数).

(1)当a＝e时，求f(x)的单调区间；

(2)讨论y＝f(x)在区间[0，1]上零点的个数.

解(1)因为f(x)＝ex－ex－1，

所以f′(x)＝ex－e，

令f′(x)＝0，得x＝1，

所以当x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；

当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减；

所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞).

(2)因为f(x)＝ex－ax－1，

所以f′(x)＝ex－a，

①当a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有一个零点；

②当a≥e时，f(x)在(－∞，1)上单调递减且f(0)＝0，所以f(x)在[0，1]上有一个零点；

③当1ae时，f(x)在(0，lna)上单调递减，在(lna，1)上单调递增，

而f(1)＝e－a－1，f(0)＝0.

当e－a－1≥0，即1a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有两个零点；

当e－a－10，即e－1ae时，f(x)在[0，1]上有一个零点.

综上所述，当a≤1或ae－1时，f(x)在[0，1]上有1个零点；

当1a≤e－1时，f(x)在[0，1]上有2个零点.

类型二已知零点的个数求参数的范围

已知区间上有零点，求参数的范围问题.往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：

(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；

(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解.

例2已知x＝－1，x＝2是函数f(x)＝－eq\f(x3,3)＋ax2＋bx＋1的两个极值点.

(1)求f(x)的解析式；

(2)记g(x)＝f(x)－m，x∈[－2，4]，若函数g(x)有三个零点，求m的取值范围.

解(1)因为f(x)＝－eq\f(x3,3)＋ax2＋bx＋1，

所以f′(x)＝－x2＋2ax＋b，

根据极值点定义，方程f′(x)＝0的两个根即为x＝－1，x＝2，

因f′(x)＝－x2＋2ax＋b，代入x＝－1，x＝2，

可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－2a＋b＝0，,－4＋4a＋b＝0，))解得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝2，))

故有f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1.

(2)根据题意，g(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1－m，x∈[－2，4]，

因g(x)有三个零点，可得方程m＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1在区间[－2，4]内有三个实数根，

即函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1与直线y＝m在区间[－2，4]内有三个交点，

又因为f′(x)＝－x2＋x＋2，

则令f′(x)0，解得－1x2；

令f′(x)0，解得x2或x－1，

所以函数f(x)在[－2，－1)，(2，4]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，

又因为f(－1)＝－eq\f(1,6)，f(2)＝eq\f(13,3)，f(－2)＝eq\f(5,3)，f(4)＝－eq\f(13,3)，函数图象如下所示.

若使函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x＋1与直线y＝m有三个交点，则需使－eq\f(1,6)m≤eq\f(5,3)，即m∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(5,3))).

类型三关于零点的综合问题

已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次