河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学.docx

石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测

数学

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（????）

A． B． C． D．

3．已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（????）

A． B． C． D．

4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

5．已知，，则（????）

A．3 B． C． D．

6．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（????）

A． B． C． D．4

8．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（????）

A． B． C． D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．当时，在上单调递增

B．若，且，则函数的最小正周期为

C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3

D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为

11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（????）

A．

B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为

C．周长的最小值为12

D．面积的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12．在等比数列中，，，则．

13．已知函数，若与的图象相切于A、B两点，则直线的方程为．

14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成部分（用数字作答）．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长．

16．如图，在直四棱柱中，，，，，．

??

(1)设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长；

(2)若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．

17．在中，，，点D在边上，且．

(1)若，求的长；

(2)若，点在边上，且，与交于点，求．

18．已知函数．

(1)当时，求函数的最小值；

(2)设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；

(3)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

19．母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：，则称是数列的生成函数．例如：求方程的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．，则非负整数解的个数为．若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．故（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为．

(1)判断以下数列是否为“规范01数列”；

①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．

(2)规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；

(3)设数列对应的生成函数为

①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；

②求数列的通项公式．

1．C

【分析】解一元二次不等式求出B，根据集合的交集运算，即可得答案.

【详解】集合，,

故，

故选；C

2．A

【分析】利用复数除法法则得到，得到虚部.

【详解】，

故虚部为.

故选：