安徽省合肥市第一中学2024-2025学年高三上学期第三次素质拓展数学.docx

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2024-2025学年第一学期合肥一中高三数学素质拓展三

满分:150分时间:120分钟

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则(????)

A. B. C. D.

2.已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则(????)

A. B. C. D.

3.已知,,则(????)

A. B. C. D.

4.函数的部分图象如图所示,则的解析式可能是(???)

A. B.

C. D.

5.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,且,则(????)

A. B. C. D.

6.已知函数在上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为(????)

A. B.

C. D.

7.已知函数的定义域为,在定义域内存在唯一,使得,则的取值范围为(????)

A. B.

C. D.

8.已知定义域为R的函数,满足,且,则以下选项错误的是(???)

A. B.图象关于对称

C.图象关于对称 D.为偶函数

二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选择对的得部分分,有选错的得0分.

9.下列命题是真命题的是(???)

A.若,则

B.函数的零点是和

C.是成立的充分不必要条件

D.若,则函数的最小值为

10.设为正实数,已知函数,则下列结论正确的是()

A.当时,函数的图象的一条对称轴为

B.已知,,且的最小值为,则

C.当时,函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数

D.若在区间上单调递增,则的取值范围是

11.已知函数,则(????)

A.的图象关于直线对称

B.是周期函数,且其中一个周期是

C.的值域是

D.在上单调递增

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.已知是偶函数,当时,,则.

13.当时,曲线与的交点个数为.

14.已知函数,不等式对任意的恒成立,则的最大值为.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.已知函数,对,有.

(1)求的值及的单调递增区间;

(2)若时,求.

16.已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程;

(2)求的单调区间;

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根,记较小的实数根为,求证:.

17.已知函数为奇函数,且图象的相邻两对称轴间的距离为π.

(1)求的解析式;

(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求方程的所有根之和.

18.已知函数.

(1)若函数在上为增函数,求实数的取值范围;

(2)若函数和函数的图象没有公共点,求实数的取值范围.

19.当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量x与之对应时,可以把这个函数的函数值y作为一个新的函数的自变量,而这个函数的自变量x作为新的函数的函数值,我们称这两个函数互为反函数.例如,由,得,通常用x表示自变量,则写成,我们称与互为反函数.已知函数与互为反函数,若两点在曲线上,两点在曲线上,以四点为顶点构成的四边形为矩形,且该矩形的其中一条边与直线垂直,则我们称这个矩形为与的“关联矩形”.

(1)若函数,且点在曲线上,求以点为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)若函数,且与的“关联矩形”是正方形,记该“关联矩形”的面积为.证明:.(参考数据:)

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1.C

【分析】由集合的交集运算即可求解.

【详解】因为,

所以,

故选:C.

2.D

【分析】利用三角函数的定义先计算,再根据诱导公式和二倍角公式计算即可.

【详解】因为角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,

所以,,

则.

故选:D.

3.D

【分析】先应用同角三角函数公式切化弦,再应用两角和与差的正弦公式计算即可.

【详解】由,得,所以,

又,

所以,,

所以.

故选:D.

4.D

【分析】由时即可排除A;由奇偶性可排除B;时0,则可排除C,故答案可求.

【详解】对于A,当时,,排除A;

对于B,因为,

所以函数为偶函数,与函数图象不符,排除B;

对于C,当时,由0,得,排除C,

故选:D.

5.B

【分析】由已知及余弦定理求,再应用平方关系求正弦值.

【详解】由题设,

由三角形内角性质,知.

故选:B

6.C

【分析】将问题转化为导函数在区间上大于零有解,分离参

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