湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含答案].docx

湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

时量：120分钟 满分：150分

得分______

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，则在复平面对应的点位于

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设直线的倾斜角为，则

A. B. C. D.

3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是

A. B. C. D.

4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB为2m，渠深OC为1.5m，水面EF距AB为0.5m，则截面图中水面的宽度EF约为（参考数据：）

A.0.816m B.1.33m C.1.50m D.1.63m

6.已知圆．与圆外切，则ab的最大值为

A.2 B. C. D.3

7.若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为

A. B. C. D.

8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A，B使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为

A. B. C. D.

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.下列说法正确的是

A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18

D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15

10.下列四个命题中正确的是

A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为

B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或

C.定点到圆上的点的最大距离为

D.过定点且与圆相切的直线方程为或

11.在棱长为2的正方体中，点满足，则

A.当时，点到平面的距离为 B.当时，点到平面的距离为

C.当时，存在点，使得 D.当时，存在点，使得平面PCD

选择题答题卡

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

得分

答案

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.假设，且与相互独立，则______.

13.斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，AB的中点为，则______．

14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角；

（2）若，点满足，且，求的面积.

16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD是正方形，若.

（1）求证：平面平面ABCD；

（2）求平面ABQ与平面BDQ所成夹角的余弦值.

17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.

（1）求的方程；

（2）A，B为双曲线右支上两个不同的点，线段AB的中垂线过点，求直线AB的斜率的取值范围.

18.（17分）已知是数列的前项和，若.

（1）求证：数列为等差数列.

（2）若，数列的前项和为.

（ⅰ）求取最大值时的值；

（ⅱ）若是偶数，且，求.

19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

（1）若圆是直线族的包络曲线，则m，n满足的关系式是什么？

（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.

（3）在（2）的条件下，过曲线上A，B两点作曲线的切线，其交点为.若且，B，C不共线，探究是否成立？请说明理由.

长沙市第一中学2024-2025学年度高二第一学期期中考试

数学参考答案

一、二、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

答案

D

A

B

A

D

D

A

C

ACD

BD

BD

1.D【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.

2.A【解析】由直线，可得直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.故选A.

3.B【解析】.故选B.

4.A【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.

5.D【解析】以为原点，OC为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设扡物线的标准方程为，

由题意可得，代入得，得，

故抛物线的标准方程为，

设，

则，则，

所以截面图中水面的宽度EF约为，故选D.