湖南省长沙市第一中学2024−2025学年高二上学期期中考试数学试卷[含答案].docx

湖南省长沙市第一中学2024?2025学年高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知复数，则在复平面对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．设直线的倾斜角为，则（????）

A． B． C． D．

3．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（????）

A． B．

C． D．

4．已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（????）（，，）

A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m

6．已知圆与圆外切，则的最大值为（????）

A．2 B． C． D．3

7．若函数在区间上只有一个零点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

8．已知分别为椭圆的左,右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．下列说法正确的是（????）

A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2

B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18

D．若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15

10．下列四个命题中正确的是（????）

A．过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为

B．过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或

C．定点到圆上的点的最大距离为

D．过定点且与圆相切的直线方程为或

11．在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则（????）

A．当时，点P到平面的距离为

B．当时，点P到平面的距离为

C．当时，存在点P，使得

D．当时，存在点P，使得平面

三、填空题（本大题共3小题）

12．假设，且与相互独立，则.

13．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则．

14．已知公差不为的等差数列an的前项和为，若，，，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知的三个内角的对边分别为，且.

(1)求角；

(2)若，点满足，且，求的面积；

16．在四棱锥中，底面是正方形，若，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.

(1)求的方程；

(2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.

18．已知是数列的前项和，若.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)若，数列的前项和为.

（ⅰ）求取最大值时的值；

（ⅱ）若是偶数，且，求.

19．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.

(1)若圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式；

(2)若点Px0,y0不在直线族：的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线

(3)在（2）的条件下，过曲线上两点作曲线的切线，其交点为.已知点C0,1，若三点不共线，探究是否成立？请说明理由.

参考答案

1．【答案】D

【分析】利用复数除法运算求得，然后判断出在复平面对应的点所在象限.

【详解】因为，对应点为，在第四象限.

故选：D

2．【答案】A

【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，得到，即可求解.

【详解】由直线，可得直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，其中，可得，所以.

故选A.

3．【答案】A

【详解】

=

故选：A.

4．【答案】A

【详解】数列为等差数列，其首项为，公差为，，

若，则，，

则可得，所以甲是乙的充分条件；

若等差数列为常数列，则任意的，都有，

所以甲不是乙的必要条件；

综上，甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

5．【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.

【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设抛物线的标准方程为（），

由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，

设（，），则，则，

即可得，

所以截面图中水面宽的长度约为，

故选：D.

6．【答案】D

【详解】圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，依题意，，

于是，即，因此，当且仅当时取等号，

所以的最大值为3.

故选：D

7．【答案】A

【详解】由，

令，则，

则由题意知，解得