2025北师大版步步高选择性必修第二册限时小练27　实际问题中的最值问题.DOCX

限时小练27实际问题中的最值问题

1.某出版社出版一读物，一页纸上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用纸张的尺寸为()

A.左右长12cm，上下长18cm

B.左右长12cm，上下长19cm

C.左右长11cm，上下长18cm

D.左右长13cm，上下长17cm

答案A

解析设所印文字区域的左右长为xcm，则上下长为eq\f(150,x)cm，所以纸张的左右长为(x＋2)cm，上下长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156(x＞0).

所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.

当x＞10时，S单调递增；当0＜x＜10时，S单调递减.

所以当x＝10时，Smin＝216(cm)2，

此时纸张的左右长为12cm，上下长为18cm.

故当纸张的边长分别为12cm，18cm时最节约.

2.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数，y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数，y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.

答案6

解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，

所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6).

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.

3.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？

解设C点距D点xkm，

则AC＝50－x(km)，

所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km).

又设总的水管费用为y元，

依题意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0＜x＜50).

y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，

令y′＝0，解得x＝30，

y′0，30x50，函数单调递增，

y′0，0x30，函数单调递减，

在(0，50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km).

故供水站建在A，D之间距甲厂20km，可使水管费用最省.