2025北师大版步步高选择性必修第二册第二章　习题课　不等式证明问题.docx

习题课不等式证明问题

[学习目标]了解高考热点中的证明问题的证明思路，把握高考证明问题的方向．

一、将不等式转化为函数的最值问题

例1函数f(x)＝x＋a·x2＋b·lnx的图象在点P(1,0)处的切线斜率为2.

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤2x－2对任意正实数x恒成立．

反思感悟解题思路

(1)构造函数h(x)＝f(x)－g(x)．

(2)问题转化为证明f(x)－g(x)≥0，即证h(x)≥0.

(3)讨论单调性：根据h′(x)与0的大小关系确定函数h(x)的单调性．

(4)求最值：由函数h(x)的单调性确定最值，并确认h(x)≥h(x)min≥0即可．

跟踪训练1设函数f(x)＝(x－1)ex＋ax2，a∈R.

(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)设函数g(x)＝lnx＋x－ex＋1，当a＝0时，证明f(x)－g(x)≥0.

二、将不等式转化为两个函数的最值进行比较

例2已知函数f(x)＝eq\f(a＋blnx,x＋1)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝2.

(1)求a，b的值；

(2)若对函数f(x)定义域内任意一个实数x，有xf(x)m恒成立，求实数m的取值范围；

(3)求证：对一切x∈(0，＋∞)，都有3－(x＋1)f(x)eq\f(1,ex)－eq\f(2,ex)成立．

反思感悟合理的构造函数是证明问题的关键，此类函数一般的结构是对?x∈D，都有h(x)＝f(x)－g(x)≥0，可转化为?x1，x2∈D都有f(x1)min≥g(x2)max，即可得证．

跟踪训练2已知函数f(x)＝lnx－eq\f(x,e).

(1)若曲线y＝f(x)存在一条切线与直线y＝eq\f(e,1－e)x垂直，求这条切线的方程；

(2)证明：f(x)x2－lnx－eq\f(3,4).

1.知识清单：

(1)将不等式转化为函数的最值问题．

(2)将不等式转化为两个函数的最值进行比较．

2．方法归纳：构造法、放缩法、分离参数、分类讨论、数形结合．

3．常见误区：转化为两个函数证明不等式关注等号成立的条件．