上海市松江一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）.docx

松江一中2024学年度第一学期期中考试卷

高二数学

考生注意：本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上.

一.填空题（第1至第6题每题4分，第7至第12题每题5分）

1.“平面经过直线”用集合符号语言可表示为_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果.

由题意可知：直线在平面内，

所以符号语言为：，

故答案为：.

2.在正方体中，所在直线与平面所成的角为_____.

【答案】

【解析】

【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为，即可求其大小.

由题设知，面，所以所在直线与平面所成角为，

设正方体棱长为2，则，则.

故答案为：

3.若单位向量、满足，则________．

【答案】

【解析】

【分析】依题意可得，根据及数量积的运算律计算可得.

因为单位向量、满足，

所以，

所以

.

故答案为：

4.已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是_________.

【答案】

【解析】

【分析】画出四边形的原图形，进而求出面积.

连接，则与平行，且有勾股定理得，

故画出四边形的原图形，如下：

四边形为平行四边形，高，

故四边形的面积是.

故答案为：

5.已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的_____心.

【答案】内

【解析】

【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断.

如下图，若面，且，连接，

由面，则，

又均在面内，则面，面，即，

同理可证，结合二面角、大小相等，

结合下图示，、对应二面角分别为，

在中，，

所以，则，

综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样，

所以点在平面内的射影是的内心.

故答案为：内

6.一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可.

因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为，

所以有，

故答案为：.

7.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________.

【答案】3

【解析】

【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可.

因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为?，

设母线长为，高为.

则，解得.

如图所示圆台的轴截面，

在中，，

由勾股定理得：圆台的高.

故答案为：3.

8.如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值.

根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内，

易知：要使最小，即为上述所得平面内.

故答案为：

9.如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______.

【答案】

【解析】

【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可.

如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故.

设铁球的半径为，则，，在中，.

设放入球后，球与水共占体积为，则，

又，依题意有，故，解得.

故答案为：

10.已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____．

【答案】##

【解析】

【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.

如下图所示：

因为为的重心，则，

可得，则，

所以，

，故.

故答案为：.

11.已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为______．

【答案】

【解析】

【分析】作出图形，利用和得到关于的方程组，求出的值，再由题意，判断两球相交形成的图形为圆面，利用余弦定理求出，求得圆面的半径，即得交线长.

如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接,

则必过的中心，，

则又，联立解得.

由题意，两球相交形成的图形为圆面，

如图，在中，，故，

所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为．

故答案为：

12.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①当点是中点时，直线平面；

②直线到平面的距离是；

③点到的距离为；

④存在点，使得.

其中所有正确的结论是__