数学学案：互动课堂第二讲二圆锥曲线的参数方程.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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互动课堂

重难突破

本课时要掌握椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并能应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值、距离或定值等问题。难点是对参数方程中参数的几何意义或物理意义的理解.

一、圆锥曲线的参数方程的实际意义

圆锥曲线的参数方程不是无本之末、无源之水，而是来源于实际生活,是实际生活的抽象。

例如，在军事上,在一定高度下作水平飞行的飞机将炸弹进攻投向目标,要知道炸弹离开飞机后的各个时刻所处的位置.像这样的实际问题显然炸弹所处的位置与离开飞机的时间密切相关,通过时间就可以将炸弹各个时刻所处横、纵位置给确定，从而可知其所处位置,是否能击中目标就可以及时得知，这时显然通过建立相应的参数方程比建立普通方程容易，这也更有利于实际需要。再比如在研究人造地球卫星的运行轨道时，常常也选择其参数方程的形式来予以研究。这样的例子还有很多。

二、圆锥曲线的参数方程

1.椭圆=1（a〉0，b〉0)的参数方程是(φ为参数)。

要注意:(1)参数φ的几何意义是点（假设为M)的离心角,不是OM的旋转角。

(2)通常规定φ∈［0,2π）。

2.双曲线=1(a0，b〉0）的参数方程是（φ为参数).

同样需注意:（1)参数φ是点（假设为M)所对应的圆的半径的旋转角(也称为点M的离心角)，不是OM的旋转角.

(2）通常规定φ∈[0,2π），且φ≠，φ≠.

3。抛物线y2=2px(其中p表示焦点到准线的距离)的参数方程为(t为参数）.需强调，参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,且t∈(-∞,+∞).

4.圆锥曲线的参数方程的特点。

椭圆与双曲线的参数方程都与三角函数有着密切的关系.

椭圆的参数方程与正弦、余弦函数有着密切的关系，这与椭圆的有界性和正弦、余弦函数的有界性有着一定的关系。而双曲线的参数方程与正割、正切函数有着密切的关系，这也与双曲线的图形分布和正割、正切函数的值域有着密切的关系.

抛物线的参数方程是一、二次函数形式，同样这也与抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应着。

5.从课本的推导过程来看,好像一条圆锥曲线的参数方程形式的确是唯一的,但事实上,同一条圆锥曲线的参数方程形式也不唯一，例如椭圆的参数方程可以是的形式，也可以是的形式，它们二者只是形式上不同而已,但实质上都是表示同一个椭圆(通过消参数即可看出)，同样对于双曲线、抛物线亦是如此。

6.当圆锥曲线的普通方程不是标准形式时，也可表示为参数方程形式，如（ab0)可表示为(φ为参数);同时要注意在使用参数方程时所含变量的取值范围。

例如,实数x、y满足=1,试求x—y的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值.

分析：本题的思考方式也许容易想到由已知方程予以变形代换，但容易看到会出现开方，很不利于求x—y的最大值与最小值.这时，根据已知条件可考虑借助于相应的参数方程来求解，借助于正弦、余弦的有界性从而把问题解决.

求解的过程可如下：

解：由已知可设

则x-y=(4cosθ+1）-（3sinθ—2)=（4cosθ-3sinθ）+3=5cos（θ+α)+3，其中cosα=,sinα=。

当cos（θ+α）=1，即θ+α=2kπ,k∈Z时,

cosθ=cos(2kπ-α)=cosα=,

sinθ=sin(2kπ—α)=-sinα=-，

x=4×+1=,y=3×(-）-2=-时，x-y的最大值为8,

同理,当x=—,y=—时，x-y的最小值为—2。

活学巧用

【例1】已知A、B分别是椭圆=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹的普通方程。

解析:本题有两种思考方式，求解时把点C的坐标设为一般的(x1，y1）的形式或根据它在该椭圆上运动也可以设为（6cosθ，3sinθ)的形式，从而予以求解。

解:由动点C在该椭圆上运动,故据此可设点C的坐标为（6cosθ,3sinθ)，点G的坐标为（x,y），则由题意可知点A（6，0)、B(0，3）。

由重心坐标公式可知

由此消去θ得到+（y—1)2=1，即为所求。

点评：本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单，运算更简便。

【例2】在椭圆=1(ab0)的第一象限的上求一点P，使四边形OAPB的面积最大，并求最大面积.

解析:如图，将四边形的OAPB分割成△OAP与△OPB,则P点纵坐标为△OAP的OA边上的高,P点横坐标为△OPB的OB边上的高。

解:设P(acosθ，bsinθ），S△APB=S△OAP+S△OPB

=absinθ+abcosθ

=ab（sinθ+cosθ）

=absin（+θ).

当θ=时，四边形OAPB面积最