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学必求其心得，业必贵于专精
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互动课堂
重难突破
一、椭圆的组成元素
图3—2—2
1。如图3-2-2,F1、F2叫椭圆的焦点，F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴,通常用字母a表示；CD叫椭圆的短轴,通常用字母b表示;如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距为
2.椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,又是以原点为对称中心的对称图形。因此,画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出。
二、椭圆的性质
图3-2-3
如图3—2-3，椭圆上任意一点到焦点F的距离和它到直线l的距离之比为定值,根据这一点，我们有椭圆的第二定义：平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数（0〈e1）时,这个点M的轨迹是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线,常数e是椭圆的离心率。e的几何意义是:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比。当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0,从而b越接近于a,椭圆越接近于圆.当e=0时，c=0,a=b，两焦点重合，图形就是圆了。可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量.
活学巧用
【例1】Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是（)
A.一条线段 B。一个锐角三角形
C.一个钝角三角形 D。一条线段或一个钝角三角形
思路解析:（1）当顶点A在平面α上的射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α上的射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段,如图3—2-4(1）.
图3—2-4
（2）当顶点A在平面α上的射影A′不在BC所在直线上时,
∵AA′⊥α,∴AA′⊥A′B,AA′⊥A′C。
∴A′BAB，A′CAC。在Rt△ABC中，AB2＋AC2=BC2,
∴BC2〉A′B2＋A′C2。
∴A′B2＋A′C2－BC2〈0.
∴∠BA′C为钝角.
∴△A′BC为钝角三角形.
答案：D
【例2】平面内两个定点的距离为8,动点M到两个定点的距离的和为10,求动点M的轨迹方程。
思路解析：根据题意,首先判定动点M的轨迹是椭圆，再求椭圆方程.
解:以两点所连线段所在的直线为x轴,线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆,设所求椭圆方程为+.
∵2a=10，2c=8,∴a=5,c=4。则b2=9。故所求椭圆的方程为+。
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