数学学案：集合之间的关系.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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数学人教B必修1第一章1。

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．

2．能使用维恩（Venn)图表达集合之间的关系，尤其要注意空集这一特殊集合的意义．

3．理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能写出有限集的子集、真子集与非空真子集．

1．集合之间的关系

定义

性质

特殊规定（结论）

子集

一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的____，记作____或____,读作“A______B”或“B____A”

对于集合A，B,C，如果A?B，B?C，则A____C

根据子集的定义,任意一个集合A都是______的子集，即________．

空集是____________的子集．也就是说,对任意集合A，都有____（其中A也可能是)

真子集

如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的______，记作____或____，读作“A________B”或“B______A”

对于集合A，B，C,如果AB,BC，则A____C

空集是____________的真子集，也就是说,对任意一个非空集合A,都有___________

相等

一般地,如果集合A的______元素都是集合B的元素，反过来,集合B的______元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B,记作A＝B

如果A?B，又B?A，则____;反之，如果A＝B，则________

对于元素较少的有限集，可以将集合中的元素全部列举出来，说明两个集合中的元素完全相同,从而得到两个集合相等．对于无限集，只需说明两个集合之间具有相互包含关系,就可以得到两个集合相等

A?B包括AB和A＝B两种情况．其中AB，可形象地理解为B中元素至少比A中元素多一个;而A＝B，可从A的元素与B的元素完全一样去理解．

【做一做1－1】有下列关系：

①1∈{0，1,2}；②｛1｝∈｛0,1,2};③{0,1，2｝?{0，1,2｝；④{0，1，2}＝｛2,0，1｝．其中错误的个数是（）

A．1B．2

C．3D．4

【做一做1－2】已知集合A＝｛1,2,3},B＝{3，x2,2},若A＝B，则x的值是（)

A．1B．－1

C．±1D．0

【做一做1－3】集合｛x∈Z｜2009≤x≤2011}的真子集的个数为（)

A．3B．6C．7D．

2．维恩(Venn)图

我们常用平面内一条____________来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示出集合之间的关系,这种图形通常叫做维恩(Venn）图．

如果集合A是集合B的______，那么就把表示A的区域画在表示B的区域的内部（如图所示）．

【做一做2】如图所示，对于集合A，B，C，D的关系，描述正确的是()

A．B?CB．D?A

C．ABD．AC

3．集合关系与其特征性质之间的关系

设A＝｛x｜p(x)｝，B＝{x|q(x)}，则有

集合间的关系

特征性质间的关系

A?B

________

A?B

________

A＝B

________

【做一做3】已知集合M＝{x|x＞2011｝，N＝{x｜x≥a｝，且x≥a?x＞2011,则a满足的条件为__________．

一、“∈”与“?的区别与联系

剖析：符号“∈”表示元素与集合之间的从属关系，也就是个体与总体的关系，是指单个对象与对象的全体的从属关系；而符号“?表示集合与集合之间的包含关系，也就是部分与总体的关系，是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系．

从属关系（∈）一般只能用在元素与集合之间；包含关系（?，）只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系．

例如，表示元素与集合之间的关系有:1∈N，－1?N,1∈{1}，0∈｛0}等，但不能写成0＝｛0｝或0?｛0｝；表示集合与集合之间的关系有：N?R，｛1,2，3｝?{1，2，3}，｛1，2,3｝{1，2，3，4｝等；但需要引起注意的是{｝与∈｛}的写法都是正确的，前者是从两个集合间的关系来考虑的，后者则把看成集合{｝中的元素来考虑．

二、探索集合的子集个数问题

剖析：由子集的定义可知:若集合A是集合B的子集，则有A?B，它包含以下两个方面：(1）AB；(2)A＝B．

由以上知识，可以得到：

若B＝｛a},则其子集可以是，｛a}，即集合中若有1个元素,其子集个数为2;

若B＝{a，b}，则其子集可以是，{a},｛b｝，｛a，b}，即集合中若有2个元素，其子集个数为4；

若B＝{