应用多元统计分析教学课件07因子分析.ppt

*如果进一步把略去的部分看成是特殊因子(一般两者是不同的)，则协差阵应该分解为：一、因子载荷矩阵的估计方法*一般情况下，的是未知的，可以利用样本协差阵代替。设为样本协差阵的特征根，相应的标准正交特征向量仍记为。设，对样本协差阵进行分解，则因子载荷矩阵的估计为一、因子载荷矩阵的估计方法*二、因子旋转因子载荷矩阵具有不唯一性。因子旋转正是利用这种不唯一性，用一个正交矩阵右乘因子载荷矩阵，实行旋转(由线性代数知识，一次正交变换对应坐标系的一次旋转)，使旋转后的因子载荷矩阵结构简化，以便易于对公共因子进行合理的解释。常用因子载荷矩阵旋转的方法有方差最大正交旋转、斜交旋转等。最常用的是方差最大正交旋转。*方差最大正交旋转是使因子载荷矩阵中，各因子载荷值的总方差达到最大作为因子载荷矩阵结构简化的准则。需要指出的是，总方差最大，而不是某个因子方差最大，这是说如果第个变量在第个公共因子上的载荷经过“方差最大”旋转后，其值增大或者减小，意味着这个变量在另一些公共因子上的载荷要减小或者增大。二、因子旋转*“方差最大”旋转是使载荷值按照列向0，1两极分化，同时也包含着按行向两极分化。设因子载荷矩阵、经过方差极大化旋转后的因子载荷矩阵分别为：和二、因子旋转方差极大旋转的意义就在于求一个正交变换矩阵，使得，并且满足方差最大。*三、因子得分前面我们讨论了如何从协差阵(相关阵)出发，来获得公共因子和因子载荷矩阵，但有时候要求把公共因子表示成变量的线性组合，或反过来对每一个样品计算公共因子的估计值，即因子得分。*因子得分可用于模型的诊断，也可以作为进一步统计分析的数据基础。但需要指出，因子得分的计算不是通常意义下的参数估计，而是对不可观测的随机向量的取值进行估计。因此，不能精确计算出因子得分，只能对因子得分进行估计。估计因子得分的方法有许多，如加权最小二乘法、回归法等，下面介绍因子得分求解的回归法。三、因子得分*根据因子模型，因子分析的数学模型将变量表示为公共因子的线性组合(不妨设)：()由于公共因子能够反映原始变量的相关关系，用公共因子代表原始变量时，有时更有利于描述研究对象的特征，因而往往反过来将公共因子表示为变量的线性组合，即()称上式为因子得分函数，用它来计算每个样品的公共因子得分。三、因子得分*若假设观测变量和公共因子都已经进行了标准化，公共因子可以对个变量作回归，回归方程为：因此，为了求出因子得分，可以根据上式先求出回归系数，然后给出因子得分的计算公式。由于公共因子的值是事先不知道的，是待估计的，所以无法像回归分析中那样利用最小二乘法直接进行参数估计。三、因子得分*我们可以知道根据样本资料计算的因子载荷矩阵。根据因子载荷矩阵的统计意义有：()即()三、因子得分*写成矩阵形式有()其中，为相关阵。现在我们仅知道样本观测值，由样本观测值计算相关阵，以代替，并得到因子载荷矩阵估计，仍将估计的因子载荷矩阵记