专题三法解决平面向量数量积问题二篇-2019高考数学压轴命题区间探究与突破版.pdfVIP

一．方法综述

平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载

体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也三角函数、解析几何等知识

相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青

睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定

位应是并举！即不应人为地、凭划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．

本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.

二．解题策略

类型一投影定义法

【例1】【2018届省中原名校高三上第一次考评】已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，

则·（＋）＝_________．

【答案】6

【解析】设BC的中点为D，则AD⊥BC，

【指点迷津】

1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：



向量a,b数量积为a⋅b=abcosθ，可变形为a⋅b=a⋅(bcosθ)或a⋅b=b⋅(acosθ)，进而与

向量投影找到联系



（1）数量积的投影定义：向量a,b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，



a⋅b=b⋅λab

即（记为在上的投影）

λ

a→ba→b

（2）投影的计算：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：



a⋅b



λ=

a→b

b

即数量积除以被投影向量的模长

2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题

（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：

直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）

（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考

虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题

【举一反三】

已知圆M为直角三角形ABC的外接圆，OB是斜边AC上的高，且AC=6,OB=22，



AOOC，点P为线段OA的中点，若DE是M中绕圆心M的一条直径，则PD⋅PE=

_________

D

Q

OM

AC

P

BE