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初中数学课程_第六章数学抽象

第六章数学抽象

抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除

了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。抽象性通常被认为是数学的一

个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象

能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。

本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、

数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数

量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。

第一节数学抽象

一、如何理解抽象的一般含义？

抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的

辩证关系的科学思维方法。

具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、

联系和关系的统一。而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联

系和关系。抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。它是在对事物的

属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对

某一事物的概念。例如，人“”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础

上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的

本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成

的，这就是抽象。

抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统

一的，并在一定条件下相互转化。人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由

理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的

科学方法。

二、如何理解科学抽象？

科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反

映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。科学的抽象是借助于概念、范畴的运动所进行的思维

活动。通过科学的抽象，我们才能从感性认识能动地飞跃到理性认识，透过现象揭示本质。通

过科学的抽象所形成的概念和思想，都是更深刻、更全面、更正确地反映着客观事物的本质。

正如列宁所说：物“质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象及其他等等，一句话，那一切科学

的（正确的、郑重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正确、更无安全地反映着自然。”

广义的科学抽象是同感性事物、感性具体相对立的。在这个意义上说，凡是与感性认识、生动

的直观或直接的直观相对立的认识形式，都可以看做是抽象。思维形式相对于它们所反映的客

观事物是抽象，相对于反映事物的感性形式也是抽象。但是对自然界的认识，既要有感性形

式，又要有抽象的思维形式，所以，对于人来说，“自然界既是具体的又是抽象的。”

三、如何理解数学抽象？

抽象并不为数学这一门科学所独有，其他科学都具有抽象的特性。但是，数学的抽象程度大大

超过了其他科学，全部数学都具有抽象的特征。

上述抽象的一般含义是在哲学范畴中的，我们这里所说的数学的抽象，主要是指思维运动中的

抽象。我们认为这种抽象不仅可以在感性具体和理性具体之间搭建思维的桥梁，也可以在此理

性具体和彼理性具体之间搭建思维的桥梁，前者必须依赖于感性具体，而后者则不必依赖于感

性具体。针对数学的发展所依赖的抽象而言，我们称前者为第一次抽象，后者为第二次抽象。

虽然这两次抽象有着程度上的差异，但总体上可以认为，第一次抽象有利于发现新的知识，而

第二次抽象有利于合理解释哪些发现了的知识。即数学的抽象具有明显的层次性，这也是数学

抽象与一般抽象的本质区别。

（一）数学抽象的层次性

就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次：

（1）把握事物的本质，把繁杂问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段。

（2）去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类

事物，我们称其为符号阶段。

（3）通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其

为普适阶段。

徐利治教授也曾就数学抽象的层次性在认识论上的意义进行过分析,同时他创造性地提出了数学“

抽象度”的概念来对数学抽象层次性进行了一种数量刻画。

（二）数学抽象的