2025年广西九年级中考数学一轮复习小专题过关课件：专题7二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值.pptx

专题7二次函数中几何图形线段、周长及面积的最值

模型1抛物线中线段长度最大问题特点过抛物线上一动点,向x轴作垂线而形成的线段图示M是动点,MN∥y轴结论①MN=yM-yN;②用二次函数的性质求线段最值

【针对训练】1.(2024·临夏州)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,点P是线段BC上方的抛物线上一动点,过点P作PQ⊥BC,垂足为Q,请问线段PQ是否存在最大值?若存在,请求出最大值及此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,点M是直线BC上一动点,过点M作线段MN∥OC(点N在直线BC下方),已知MN=2,若线段MN与抛物线有交点,请直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

?∵B(3,0),C(0,3),∴直线BC的解析式为y=-x+3.∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠CBO=45°.∵∠MNB=90°,∴∠PMQ=∠NMB=45°.∵PQ⊥BC,∴△PQM是等腰直角三角形,

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模型2抛物线中图形的周长最大问题特点过抛物线上一动点,向x轴作垂线形成的线段,进而形成的直角三角形图示M是动点,MN∥y轴,ME⊥AC结论①△MNE∽△ACO→△MNE的三边之比固定;②MN=yM-yN,△MNE的周长最大问题转化为MN最长问题

【针对训练】3.(2024·宜宾)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C(0,-4),其顶点为D.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.(2)在y轴上是否存在一点M,使得△BDM的周长最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点E在以点P(3,0)为圆心,1为半径的☉P上,连接AE,以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF,连接BF.求BF的取值范围.

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模型3抛物线中线段的比值最大问题特点过抛物线上一动点,与x轴上一点相连,形成的两线段的比图示M是动点,作MN∥y轴,得△MND∽△OCD结论①△MND∽△OCD→=;②OC是定值,故MN最大时,最大

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【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,∴设y=a(x+1)(x-3),将C(0,3)代入,得a(0+1)(0-3)=3,解得a=-1,∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;

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模型4抛物线中三角形面积最大问题特点过抛物线上一动点,与另外两个定点相连形成的三角形图示M是动点,作MN∥y轴,得S△MAC=MN·AO结论MN最大时,S△MAC最大

三角形面积转化求解法S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCDS△ABC=×BD×(h1+h2)PP∥BC,则S△PBC=S△PBC

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模型5抛物线中线段和的最值问题特点过抛物线上一动点,形成的两线段的和图示P是动点,作PE∥y轴,PF∥x轴,△PDF∽△OCB结论由△PDF∽△OCB得PD∶PF为定值,PF可用PD表示,PE+PF最大即转化为PE与PD最大问题

?(4,1)

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【解析】(1)∵2a+b=0,a=1,∴b=-2a=-2.又∵c=-1,∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-1.∵y=x2-2x-1=(x-1)2-2,∴该抛物线顶点P的坐标为(1,-2).

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