第五章-5.3平面向量的数量积.docx

1.两个向量的夹角

(1)定义

已知两个非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.

(2)范围

向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.

(3)向量垂直

如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，则a与b垂直，记作a⊥b.

2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l(如图)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量eq\o(O1A1,\s\up6(→))叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.

eq\o(OA,\s\up6(→))＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ.

3.向量的数量积

(1)平面向量的数量积的定义

|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

(2)向量数量积的性质

①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；

②a⊥b?a·b＝0；

③a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；

④cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)；

⑤|a·b|__≤__|a||b|.

(3)数量积的运算律

①交换律：a·b＝b·a.

②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).

③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

(4)数量积的坐标运算

设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则

①a·b＝a1b1＋a2b2；

②a⊥b?a1b1＋a2b2＝0；

③|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))；

④cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2))).

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)

(2)向量在另一个向量方向上的正射影为数量，而不是向量.(×)

(3)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD为矩形.(×)

(4)两个向量的夹角的范围是[0，eq\f(π,2)].(×)

(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)

(6)(a·b)c＝a(b·c).(×)

1.已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于()

A.150° B.90°

C.60° D.30°

答案D

解析设向量a与向量a＋2b的夹角为θ.

∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，

∴|a＋2b|＝2eq\r(3)，

a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ

＝2×2eq\r(3)cosθ＝4eq\r(3)cosθ，

又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，

∴4eq\r(3)cosθ＝6，cosθ＝eq\f(\r(3),2)，

∵θ∈[0°，180°]，

∴θ＝30°，故选D.

2.(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))等于()

A.－eq\f(3,2)a2 B.－eq\f(3,4)a2

C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a2

答案D

解析如图所示，

由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，

∴BD＝eq\r(3)a.

∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(BD,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos30°＝eq\r(3)a2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)a2.

3.已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝