考研题库 《数字信号处理教程》（第4版）章节题库.docxVIP

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第1章离散时间信号与系统

第2章Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）

第3章离散傅里叶变换（DFT）

第4章快速傅里叶变换（FFT）

第5章数字滤波器的基本结构

第6章几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计

第7章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器设计方法

第8章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法

第9章序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础

第10章数字信号处理中的有限字长效应

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说明：本部分严格按照程佩青编写的《数字信号处理教程》（第4版）教材内容进行编写，每一章都精心挑选经典常见考题，并予以详细解答。熟练掌握本书考题的解答，有助于学员理解和掌握有关概念、原理，并提高解题能力。

第1章离散时间信号与系统

1．试求离散高斯序列的傅里叶变换

解：根据离散傅里叶变换公式可得

在等式右端乘以可得

如令

则

上式中

由此可知，离散高斯序列的傅里叶变换仍然是高斯函数，将上式中的变量s换成－ω，即可得

2．若离散时间信号为2cos（2πn/3），抽样率为3000Hz，写出所对应的模拟信号的表达式。

解：由于离散信号为x（n）＝2cos（2πn/3）

故应该令所对应的模拟信号

又

比较x（n）的两表达式，得

故

故所对应的模拟信号

3．已知一个线性时不变系统的单位取样响应除区间之外皆为零；又已知输入x（n）除区间

之外皆为零。结果，输出除了在某一区间之外皆为零。试以和N3表示N4和N5。

解：根据题意，在区间之外单位取样响应h（n）皆为零，在区间N3之外输入x（n）

皆为零，因此在区间之外，和的非零取样互不重叠，故输出皆为零。由

于题中给出输出除了区间之外皆为零，所以

4．试画出下面各序列的图形。

解：参见图1-1（a）～（d）。

图1-1

5．设系统的输入输出关系用描述，判断系统的线性性和时不变性。

解：（1）设

令

则

满足线性性的要求，故系统是线性的。

（2）判断时不变性。

解法1：（定义法）

则

故系统不是时不变系统。

解法2：（举反例法）

令则输出若输入延时两个采样周期为则

故系统不是时不变系统。

6．确定下列系统是否因果的？是否稳定的？

解：（a）假设对某一时刻当时，输入信号不改变，即有而输出信号

于是当时，也有即此时输出也不变化，所以是因果系统。

由于g（n）有界，故对所有n，都有现在设输入信号x（n）有界，也即对所有n，都有

而输出y（n）＝g（n）x（n），因此对所有n，也都有

这就是说，当输入有界时，输出也有界，所以系统是稳定的。

注意，此题不能用h（n）来确定其因果性和稳定性，因为这不是一个LTI系统。

（b）由例5（c）题已经知道这是一个LTI系统，因此可以利用h（n）来判定。

也即当n＜0时，h（n）＝0，故为因果系统。而

故系统是非稳定的。

（c）首先验证它是否是一个LTI系统。设是两个任意序列，a、b是两个任意常数。

由于y′（n）＝y（n），所以是线性系统。又，设M为一整数。

而

所以是时不变系统。于是可以用h（n）来判定。因此h（n）只在时不为0。所以，如果那么当n＜0时，h（n）＝0，系统是因果的；如果由于所以系统是非因果的。

又，

所以该系统是稳定的。

7．设序列x（n）傅里叶变换为，求下列序列的傅里叶变换。

解：由傅里叶变换对的定义：

可以得到：

（2）因为

故

其中，?表示的共轭对称部分。

（3）设，其傅里叶变换为

（4）当n为偶数时，x（n/2）的傅里叶变换为

当n为奇数时，x（n/2）的傅里叶变换为零。

8.x（n）为输入序列，h（n）为线性时不变系统的单位抽样响应，确定输出序列y（n）。

解：

（a）

（b）?

由于x（n）定义在－2到2区间，所以y（n）在0到4区间，依次为：1，2，1，1，2。

（c）用排序法求这个线性卷积

9．设序列傳里叶变换为，证明

证：证法1：利用傅里叶变换的对称性，若则

所以

证法2：由于

因此

而

所以

10．已知LTI系统的单位抽样响应为

求单位阶跃响应（即当输入为单位阶跃信号时的输出）y（n）。

解：该系统的单位阶跃响应

11．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图1-2所示，图中r表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从x（t）到y（t）的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（１）如果h（n）截止于求整个系统的截止频率。

（２）对于重复（１）的计算。

图1-2数字滤波器

解：（１）因为当时，在数-模变换中

所以h（n）的截止频率对应于模拟信号的角频率为

因此

由于最后一级的低通滤波器的截止频率为因此对没有影响，故整个系统的截止频率由决定，是

（２）采用同样的方法求得，整个系统的截止频率为

12．令x（n）和表示一个序列及其傅里叶变换，利用表示下面各序列的傅里叶变换。

解