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与圆有关的面积计算技巧专练

一、命题解读

求阴影部分的面积是命题的热点,在计算由圆、扇形、三角形、四边形等组成的图形面

积时，要注意观察和分析图形,学会运用平移、对称、旋转的特征来分解和组合图形,明

确要计算图形的面积,可以通过哪些图形的和或差或等积变形得到,常见于选择填空题,

也有少部分解答题中求阴影面积.

二、基础知识

1.基本公式.

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(1)三角形面积公式:S=ah.其中a为底边,h为该底边上的高.

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(2)正方形面积公式:S=a.其中a为正方形边长.

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(3)圆的面积公式:S=πr.其中r为圆的半径.

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(4)扇形的面积公式:s==，其中r为扇形的半径形，n为扇形的圆心角,为扇形

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的弧长.

2.与圆有关的阴影面积的常用求法.

(1)直接求法:这种方法是根据已知条件,发现阴影部分是规则图形,则直接用相关面积公

式求出即可.如求下图中的扇形面积.

(2)和差法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形的和或差,分别计算

它们的面积,然后相加或相减求出整个图形的面积如求下图中的扇形面积.

(3)转化法:此法就是通过等积变换、平移、对称、旋转、割补等方法将不规则的图形转

化成面积相等的规则图形,再利用规则图形的面积公式,运用加减法计算出所求的不

规则图形的面积.如求下图中的阴影面积.

(4)重叠法:就是把所求阴影部分的面积问题转化为两个或两个以上规则图形可求面积

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的重叠部分的方法.这类题中的阴影一般是由几个图形叠加而成.要准确认清其结构,

理顺图形间的大小关系.此法别具技巧,要注意体会.例如,求左下图中阴影部分的面

积,可先求两个扇形面积的和,减去正方形面积,因为阴影部分的面积恰好是两个扇形

重叠的部分;求右下图可用三个扇形减去中间三角形两次即可.

(5)特殊位置法:代数中有特殊值法,几何里有特殊位置法,即将图形中的某部分通过几何

变换放到一个特殊位置,当然是方便计算,从而让所求面积跟变换前的大小是一样的.

如图所示，就可以让两个圆心重合而不改变阴影面积大小.

(6)代数法:将图形按形状、大小分类,并设其面积为未知数,利用图形中面积的和差所隐

含的等量关系来构造方程或方程组来解出阴影部分面积的方法.如图,设阴影部分面

积为x,每一处空白部分面积为y,因此有

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x+y=

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x+2y=1∗2∗2解出x即可

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注意:上述方法很多时候不一定是独立运用,也可能几种方法组合运用.故在求阴影部分

图形的面积问题时,要具体问题具体分析,选取一种合理、简捷的方法.

类型一,直接法求阴影面积

例1(1)如图,在口ABCD中,∠B=60°,⊙C的半径为3,则图中阴影部分的面积是()

A.πB.2πC.3πD.6π

(2)如图,在矩形ABCD中,AB=2√3,BC=4,以点D为圆心、DA为半径画弧，与矩形的边BC

交于点E,则图中阴影部分的面积为()

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A．8√3−B.6√3−C．8√3−D.6√3−

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类型二，和差法求阴影面积

例2(1)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,半径OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.

点O恰好落在弧AB上的点D处,折痕交OA于点C,则图中阴影