【数学】基本不等式课后训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docxVIP

2.2基本不等式

A级——基础过关练

1．下列不等式中，正确的是()

A．a＋eq\f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)

2．若0≤x≤6，则eq\r(x(8－x))的最大值为()

A．eq\f(16,3) B．4

C．eq\f(4\r(3),3) D．eq\r(5)

3．当x≥3时，x＋eq\f(4,x－1)的最小值为()

A．5 B．4

C．eq\f(11,2) D．eq\f(16,3)

4．(多选)已知实数a，b，下列不等式一定正确的有()

A．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B．a＋eq\f(1,a)≥2

C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))≥2 D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2

5．若实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝eq\r(ab)，则ab的最小值为()

A．eq\r(2) B．2

C．2eq\r(2) D．4

6．“ab＜eq\f(a2＋b2,2)”是“a＞b＞0”的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．不等式a2＋4≥4a中，等号成立的条件为__________．

8．设x＞0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为__________．

9．eq\r((3－a)(a＋6))(－6≤a≤3)的最大值为__________．

10．已知x＞0，求y＝2－x－eq\f(4,x)的最大值．

B级——综合运用练

11．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()

A．2 B．4

C．6 D．8

12．已知y＝x＋eq\f(1,x－1)(x＞1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝__________．

13．设x＞0，求证：x＋eq\f(2,2x＋1)≥eq\f(3,2)．

C级——创新拓展练

若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围为__________．

答案解析

1、【答案】D

【解析】若a＜0，则a＋eq\f(4,a)≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；a＝4，b＝16，则eq\r(ab)＜eq\f(a＋b,2)，故C错；由基本不等式可知D项正确．

2、【答案】B

【解析】因为0≤x≤6，所以8－x＞0，所以eq\r(x(8－x))≤eq\f(x＋(8－x),2)＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故所求最大值为4．

3、【答案】A

【解析】x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以t＋eq\f(4,t)＋1≥5，当且仅当t＝2时，等号成立，所以x＋eq\f(4,x－1)≥5．故选A．

4、【答案】CD

【解析】当a＜0，b＜0时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)不成立；当a＜0，时，a＋eq\f(1,a)≥2不成立；因为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．

5、【答案】C

【解析】由eq\r(ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，得ab≥2eq\r(2)，当且仅当eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)时取“＝”．

6、【答案】B

【解析】∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜eq\f(a2＋b2,2)?a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0?a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．

7、【答案】a＝2

【解析】令a2＋4＝4a，则a2－4a＋4＝0，∴a＝2．

8、【答案】0

【解析】y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋