如何利用空间向量处理立体几何中的角与距离问题课题结题报告 .pdfVIP

篇一：利用空间向量求立体几何中的角和距离

利用空间向量求立体几何中的角和距离

四川省宜宾市第一中学校易存新

高中数学新教材第二册下（b）中引入空间向量，大大降低了立体几何解题难度，而法向量的

引入，对于解决空间的角与距离提供了很大的帮助。而高考中常以立几知识为载体，以空间

向量为工具，常考查空间线、面位置关系的论证和空间距离、空间角的有关计算。下面举例

说明空间向量在求角和距离中的运用。一.求角

1.求异面直线所成的角?(0???

?

2)

设异面直线m,n的方向向量分别为m,n，则异面直线m,n所成的角?等于向量m,n所

???m?n???

成的角或其补角，所以有：cos??cos?m,n??

m?n

例1．（2006年福建卷)如图，四面体abcd中，o、e分别是bd、bc的中点，

ca?cb?cd?bd?2,ab?ad?

（i）求证：ao?平面bcd；

（ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；解：（i）略证。

（ii）∵ao?平面bcd，oc?bd∴以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则b(1,0,0),d(?

1,0,0),

1

????????0),ba?(?1,0,1),cd?(?1,0).

c0),a(0,0,1),e(22????????

????????ba.cd?cos?ba,cd???

4bacd

?异面直线ab与cd所成角的大小为arccos

4

2.求直线与平面所成的角?(0???

?

2

)

设?为直线l与平面?所成的角，ω为直线l的方向向量v与平面?的法向量n之间的夹角，则

有??

?

2

??（图1）或??

?

2

??（图2）

v

ω

n图1图2

即直线l与平面?所成的角?可看成是向量v与平面?的法向量n所成的锐角的余角，所以有

sin??

cos?

??

?cos?v,n??

?

特别地??0时，??

?

2

，l??；??

?

2

时，??0，l??或l//?

例2．（2005年浙江卷）．如图，在三棱锥p－abc中，ab⊥bc，ab＝bc＝kpa，点o、d分别是

ac、pc的中点，op⊥底面abc．（ⅱ）当k＝

12

时，求直线pa与平面pbc所成角的大小；

解：∵op⊥平面abc，oa=oc，ab=bc，

∴oa⊥ob，oa⊥op，ob⊥op。

以o为原点，射线op为非负z轴，建立空间直角坐标系o-xyz（如图），设ab=a，则a（

2

a,0,0），b（0，

2

a，0），c（-

2

a，0，0）。

设op=h，则p（0，0，h）。∵k=

12

，即pa=2a∴,

????

∴pa=(

2

a,0,?????

?????1pa?n

），∴coslt;pa,ngt;=7|pa|?|n|

?

可求得平面pbc的法向量n=（1，－1，?

30

设pa与平面pbc所成的角为θ

?????则sinθ=|coslt;pa,ngt;|=

30

,∴pa与平面pbc所成的角为arcsin

30

.

3.求二面角的平面角?(0????)

设n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??的大小为?，向量n1,n2的夹角为?，则有?????

（图3）或???（图4）其中cos??

n?n12图图4n2

n1

例3．（2006年安徽卷）如图，p是边长为1的正六边形abcdef所在平面外一点，pa?1，p

在平面abc内的射影为bf的中点o。（ⅱ）求面apb与面dpb所成二面角的大小。

解：以o为坐标原点，建立空间直角坐标系，

1p(0,0，1)，a(0，?,0)，b(，0,0)，d(0,2，

2

2

????????10)，∴pa?(0,?,?1)，pb?0,?1)，

22

????

pd?(0,2,?1)

f例3图

e

??

设平面pab的法向量为n1?(x1,y1,1)，则

1

?

?y1?1?0??????????????2

，n1?pa，n1?pb，得?

?x?1?0

1

??2

??n1?(?2,1)；

3

?2y2?1?0

?????????????????设平面pdb的法向量为n2?(x2,y2,1)，则n2?pd，n2?pb，得，

x2?1?0?2

???