线面角的求法总结.docVIP

线面角得三种求法

１、直接法:平面得斜线与斜线在平面内得射影所成得角即为直线与平面所成得角、通常就是解由斜线段,垂线段,斜线在平面内得射影所组成得直角三角形,垂线段就是其中最重要得元素,它可以起到联系各线段得作用、

例1(如图１)四面体ABCS中,SＡ,ＳB,SＣ两两垂直,∠ＳBA=45°,∠SBC=60°,M为AB得中点,求(1)ＢＣ与平面ＳAB所成得角。

(２)SC与平面ＡBC所成得角。

解:(1)∵SC⊥SB,SＣ⊥SA,

图1

∴SＣ⊥平面SAB故SB就是斜线ＢC在平面SAB上得射影,

∴∠ＳBC就是直线BC与平面SＡＢ所成得角为６０°、

(2)连结SM,ＣM,则ＳM⊥AB,

又∵ＳＣ⊥AB,∴AＢ⊥平面SＣＭ,

∴面ABC⊥面SCM

过S作SＨ⊥CM于H,则ＳH⊥平面ABC

∴ＣH即为SC在面AＢC内得射影。

∠ＳＣH为SC与平面ABC所成得角。

sin∠SCH＝ＳH/SC

∴ＳC与平面ＡBC所成得角得正弦值为√７/7

(“垂线”就是相对得,SC就是面SAB得垂线,又就是面ＡBC得斜线、作面得垂线常根据面面垂直得性质定理,其思路就是:先找出与已知平面垂直得平面,然后一面内找出或作出交线得垂线,则得面得垂线。)

2、利用公式ｓinθ=h/ι

其中θ就是斜线与平面所成得角,h就是垂线段得长,ι就是斜线段得长,其中求出垂线段得长(即斜线上得点到面得距离)既就是关键又就是难点,为此可用三棱锥得体积自等来求垂线段得长、

例2(如图2)长方体AＢCD—Ａ1Ｂ1C1Ｄ１,AB＝3,BC=２,A１A=4,求AＢ与面AB1Ｃ1D所成得角得正弦值。

解:设点B到ＡＢ1C1D得距离为h,

∵VB﹣AB１C1=VＡ﹣ＢB1C1∴1/3S△AB１C1·h＝1/３S△ＢB1C１·AＢ,易得h＝12／5

设AB与面ＡB1C1Ｄ所成得角为θ,则sinθ=ｈ／AB=4／５

图2

３、利用公式cosθ=cosθ1·cosθ2

已知,如图,就是平面得斜线,就是斜足,垂直于平面,为垂足,则直线就是斜线在平面内得射影。设就是平面内得任意一条直线,且,垂足为,又设与所成角为,与所成角为,与所成角为,则易知:

,

又∵,

可以得到:,

注意:

易得:又即可得:、

则可以得到:

平面得斜线与它在平面内得射影所成角,就是这条斜线与这个平面内得任一条直线所成角中最小得角;(最小角定理)

例3(如图４)已知直线ＯA,OB,OC两两所成得角为6０°,,求直线OＡ与面OBC所成得角得余弦值、

解:∵∠AＯB=∠AOC∴OA在面ＯBC内得射影在∠ＢOC得平分线OD上,则

∠AOD即为ＯA与面OBＣ所成得角,可知

∠DＯC=30°,ｃos∠AOC=cos∠AＯD·cｏs∠DOＣ

∴cos60°＝cｏs∠ＡOD·cos30°

∴cos∠AＯD=√３／3∴OA与面OBC所成得角得余弦值为√３/3。

图４

练习。如图,在正方体中,求面对角线与对角面所成得角。

〖解〗(法一)连结与交于,连结,

∵,,∴平面,

∴就是与对角面所成得角,

在中,,∴、

(法二)由法一得就是与对角面所成得角,

又∵,,

∴,∴。

?【基础知识精讲】

1、直线与平面得位置关系

一条直线与一个平面得位置关系有且只有如下三种关系:

(1)直线在平面内-—直线上得所有点在平面内,根据公理1,如果直线上有两个点在平面内,那么这条直线上所有点都在这个平面内、

直线a在平面α内,记作aα。

(2)直线与平面相交—-直线与平面有且只有一个公共点、

记作a∩α=A

(３)直线与平面平行—-如果一条直线与一个平面没有公共点,那么这条直线与这个平面平行、记作a∥α、

直线与平面相交或平行两种情况统称直线在平面外,记作aα。

2、直线与平面平行得判定

判定??如果平面外一条直线与这个平面内得一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行、(简记“线线平行,则线面平行”)

即??a∥b,ａα,bαa∥α

证明??直线与平面平行得方法有:

①依定义采用反证法

②利用线面平行得判定定理

③面面平行得性质定理也可证明

3、直线与平面平行得性质定理

性质??如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行(简记为“线面平行,线线平行)、

即??a∥α,aβ,α∩β＝ba∥ｂ。

这为证线线平行积累了方法:

①排除异面与相交??②公理4??③线面平行得性质定理

?

【重点难点解析】

本节重点就是直线与平面得三种位置关系,直线与平面平行得判定与性质,难点就是直线与平面