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因式分解唯一性定理

因式分解与基础域有关

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例如在Q上有x-4=(x-2)(x+2),在R上有

4

x-4=在C上有

对恒有两类因式：

1）

2）称这样的因式为f(x)

的平凡因式

定义如果域F上一个次数0的多项式，

除平凡因式外它没有别的因式，则称f(x)为F

上的一个不可约多项式。

从前面的例子可以看出一个多项式是否可解

2

与基础域有关。如x-2在Q上不可约,但在R

上就可解。

不可约多项式的性质

1若p(x)不可约，则cp(x)(0≠c∈F)也不可

约

证因p(x),cp(x)有相同的因式

2若p(x)不可约,则对

证设d(x)=(p(x),f(x))，若d(x)=1，则结论

成立若d(x)≠1,则d(x)|p(x).

因为p(x)不可约,所以d(x)=cp(x)于是由

d(x)|f(x)得d(x)|f(x)

3）设p(x)不可约,对有

p(x)|f(x)g(x),则p(x)|f(x)或p(x)|g(x)

证若p(x)|f(x)，则由性质2）

(p(x),f(x))=1从而p(x)|g(x)

一般地，有如下性质：

唯一分解定理（1）数域F上任一次数大于零

的多项式f(x)都可以分解成F上的不可约多项式

的乘积，

即f(x)=p(x)p(x)…p(x);（分解的存在性）

12n

（2）若f(x)又有分解

f(x)=q(x)q(x)…q(x),

12m

其中q(x)(j=1,2,…,m)是F上不可约多项式，则

j

m=n，且适当调换q(x)的次序后有

j

p(x)=cq(x),（分解唯一性）

iii

其中0≠c∈F，I=1,2,…，n，且cc…c=1.

i12n

证分解存在性。

若f(x)是不可约多项式，则分解以存在。

若f(x)可解，则存在f(x),f(x)使

12

f(x)=f(x)f(x),0deg(f(x))deg(f(x)),

121

0deg(f(x))deg(f(x)).

2

若f(x),f(x)均为不可约多项式，则分解完

12

毕。若f(x)或f(x)可解，则继续分解，由于

12

deg(f(x))有解，因此有限步后必然分解完毕。

分解唯一性：

设f(x)=p(x)p(x)…p(x)=q(x)q(x)…q(x),

12